2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型1. 直解法例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0000.11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x例2. 设线性方程组b Ax =,其中 11231112341113451A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求)(A Cond ∞，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法例1. 设线性方程组b Ax =为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----221221122321x x x ααα ， 0≠α写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛. 例 2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中b Ax =为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=-522826233213231x x xx x x x3.插值例 1. 已知,12144,11121,10100===（1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位） （2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位） 例 2. 由下列插值条件4. Runge —Kutta 格式例 写出标准Kutta Runge -方法解初值问题⎩⎨⎧==+-=1)0(,1)0(sin 2'2'''y y x y xy y 的计算格式5. 代数精度例 1. 数值求积公式形如)1()0()1()0()()(321010f A f A f A f A x S dx x xf '+'++=≈⎰试确定其中参数,,,,4321A A A A 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度. 例 2. 验证数值求积公式20120()(1(1)(1f x dx A f A f A f ≈++⎰是Gauss 型求积公式.6．Romberg 方法 例 对积分⎰+1021dx x ，用Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过510-并将结果填7．证明（1）设)(x ϕ为],[b a 上关于权函数)(x ρ的n 次正交多项式，以)(x ϕ的零点为节点建立Lagrange 插值基函数)}({x l i ，证明：⎰⎰==b abai i ni dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2 ρρ证明: 设n 次正交多项式()x ϕ的零点为12,,n x x x ，则以这n 个零点为节点建立的Lagrange 插值基函数{()},1,2,i l x i n =是n-1次多项式，[]2()i l x 是2n-2次多项式. 故当()f x 取()i l x 和[]2()i l x 时Gauss 型求积公式1()()()nb k k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰等号成立, 即1()()()nb i k i k iak x l x dx A l x A ρ===∑⎰221()()()nb i k i k iak x l x dx A l x A ρ===∑⎰则有 ⎰⎰==b abai i ni dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2 ρρ（2）对线性方程组b Ax =，若A 是n 阶非奇异阵，0≠b ，*x 是b Ax =的精确解，x 是b Ax =的近似解。

记Ax b r -=证明：br CondAxx x ≤-**证明：由于*x 是b Ax =的精确解，则 A x b *=，()r b Ax Ax Ax A x x **=-=-=- 又A 是n 阶非奇异阵，则 1x x A r *--=11x x A r A r *---=≤，且b Ax A x **=≤，则 b x A≥故 *11*x x A r r r A ACondAbAbbx ---≤==（3）初值问题0)0(,=+='y b ax y 有解bx ax x y +=221)(，若nh x n=，n y 是用Euler 格式解得的)(x y 在n x x =处的近似值，证明：n n n ahx y x y 21)(=- . 证明：记 n n n f y x f b ax y x f =+=),(,),(，且0)0(=y ，nh x n = Euler 格式为),(1n n n n y x hf y y +=+ 则有=++=+=-----12211)(n n n n n n hf hf y hf y ynn n n n n bx ahx ax nhb ah hb ah n hb ah hb ah hb b ax h b ax h b ax h hf hf hf y +-=+=+-+++++=++++++=++++=---2122122)1(2221101100)1(2)()()(n n n n n n n n ahx ahx bx ax bx ax y x y 2121221221)()(=-+-+=-.（4）设nn C A ⨯∈为非奇异阵，试证：线性方程组b Ax =的数值解可用Seidel 迭代方法求得.证明：因为A 为非奇异矩阵，故b Ax =与b A Ax A TT =是同解方程组，而A A T 正定，则Seidel 格式收敛，即用Seidel 方法一定能求得b Ax =的解.（5）试导出求解初值问题 b x a y a y y x f y ≤<⎩⎨⎧==',)(),(0 的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题 ⎩⎨⎧==+'1)0(0y y y 所得数值解为nn h h y ⎪⎭⎫⎝⎛+-=22 证明 将 ),(y x f y =' 在 ],[1+n n x x 上积分, 得 .))(,()()(11⎰+=-+n nx x n n dx x y x f x y x y将右端的积分用梯形公式计算其近似值, 并用1,+n n y y 分别代替)(),(1+n n x y x y , 得 )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y 将y y x f -=),(代入梯形公式得 )(121++--+=n n h n n y y y y , 则有 )(121n n hn n y y y y --+=--得 022*******y h h y h h y h h y nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--因为 10=y , 得 nn h h y ⎪⎭⎫⎝⎛+-=22.（6）设[]h x x x x h x x C f +=-=∈0102204,2,,，证明),(),(12)]()(2)([1)(20)4(221021x x f h x f x f x f hx f ∈-+-=''ξξ证明：)(x f 的二次Lagrange 插值多项式及余项形式为),(),)()((!3)(]))(())(()())(())(()())(())(()([)(20210120210221011012010210x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x f ∈---'''+----+----+----=ξξ其二阶导数为),(,,,]))()([(!3)(]))()([(!4)(2))()((!5)(]))((2)())((2)())((2)([)(20212102101)4(2102)5(120222*********x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x f ∈''---'''+'---+---+--+--+--=''ξξξξξξ注意到h x x x x h +=-=0102,2，有),(,,,0!3)()(!4)(20!5)(]22)(2)(22)([)(202121)4(2)5(2221201x x f h f f h x f h x f h x f x f ∈⋅'''+-+⋅++-+=''ξξξξξξ 即),(),(12)]()(2)([1)(20)4(221021x x f h x f x f x f hx f ∈-+-=''ξξ（7）证明求积公式20585()(1(1)(1999f x dx f f f ≈-+++⎰是稳定的.（8）设初值问题0(,)()y f x y a x by a y '=<≤⎧⎨=⎩ 中的f 区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件，证明：格式 11211(3)4(,)22(,)33n n n n n n n h y y K K K f x y K f x h y hK +⎧=++⎪⎪=⎨⎪⎪=++⎩是收敛的.倒数第三题，求A0、A1、A2参数的那道题，前面积分限是0到1，而后面求积公式的第一个求积节点居然小于0！（1/2-根号3/5），在积分限之外。

其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。

作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。

二．培训的及要求培训目的1）保安人员培训应以保安理论知识、消防知识、法律常识教学为主，在教学过程中，应要求学员全面熟知保安理论知识及消防专业知识，在工作中的操作与运用，并基本掌握现场保护及处理知识2）职业道德课程的教学应根据不同的岗位元而予以不同的内容，使保安在各自不同的工作岗位上都能养成具有本职业特点的良好职业道德和行为规范）法律常识教学是理论课的主要内容之一，要求所有保安都应熟知国家有关法律、法规，成为懂法、知法、守法的公民，运用法律这一有力武器与违法犯罪分子作斗争。

工作入口门卫守护，定点守卫及区域巡逻为主要内容，在日常管理和发生突发事件时能够运用所学的技能保护公司财产以及自身安全。

2、培训要求1）保安理论培训通过培训使保安熟知保安工作性质、地位、任务、及工作职责权限，同时全面掌握保安专业知识以及在具体工作中应注意的事项及一般情况处置的原则和方法。