（二）数列专项练习1. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥， （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()242log 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.2．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n n b b b b b a -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记24(1)(21)n nn n b c n ⋅=-+，求数列{}n c 的前n 项和n T .3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列,149a a +=,238a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若2log n n n b a a =⋅ ,求数列{}n b 的前n 项和n T .4．已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x ，其中{a n }是以4为首项的正数数列．（Ⅰ）求数列{c n }的通项公式； （Ⅱ）若不等式对一切正常整数n 恒成立，求实数x 的取值范围．5．已知正项数列{a n }，其前n 项和Sn 满足，且a 2是a 1和a 7的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x 的最大整数，记，求．6.（本小题满分12分）单调递增数列{}n a 的前行项和为 n S ，且满足 244n n S a n =+．(I)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)数列 {}n b 满足： 1221log log 2n n n a b a ++=。

求数列{}n b 的前n 项和 n T 。

（二）数列专项练习答案1.解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分 212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.n n n a a +- …………3分()()()12-1-1-221112=-+-+-=222121, (612)nn n n n n n n n a a a a a a a a ---∴+++++==--+分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111111+=11.111233521212212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴++--Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分2.．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ， 则101919,a a d =+=101109101002S a d ⨯=+⨯=解得11,2a d ==，所以21n a n =-………3分 所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当11,3n b ==时, 2,n ≥当时123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21n n b n n +=≥- 因为当11,3n b ==时适合上式，所以21(N )21n n b n n *+=∈-………………………………6分 （Ⅱ）由已知24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+， 得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分 当n 为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+ 1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分 当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+ 12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分 综上：2,2122,21n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分3.（本小题满分12分）【解析】解法一：（Ⅰ）由142398a a a a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩即31123198a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分消3q 得 1189a a +=,解得11a =或 18a =,∴112a q ⎧=⎨=⎩ 或1812a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……….4分{}n a 是递增数列,∴112a q ⎧=⎨=⎩ ∴ 1112n n n a a q --==. …….6分 （Ⅱ）11122log 2(1)2n n n n b n ---==-⋅ ………………….7分0121021222...(1)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅12120212...(2)2(1)2n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ …………….8分 ∴12122 (2)(1)2n nn T n --=+++--⋅22(1)212n nn -=--⋅-(2)22n n =-⋅-(2)22nn T n =-⋅+ …………….12分 解法二：（Ⅰ）因为{}n a 是等比数列,238a a =,所以148a a = ……………………….1分又149a a +=,∴14,a a 是方程2980x x -+=的两根，∴ 1418a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 或1481a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……….3分{}n a 是递增数列, ∴1418a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩………….4分 ∴ 3418a q a == ∴ 2q =. …………….5分 ∴ 1112n n n a a q --==. ……….6分（Ⅱ）同解法一.4.． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （Ⅰ）由于双曲线方程为的一个焦点为（，0），可得c n =a n +a n ﹣1．由于一条渐近线方程为，可得，即=2，利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）设T n =+…+，利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式可得T n =﹣﹣，故原不等式等价于+log a x 恒成立，化为log a x ≥0．由于a ＞1，即可得出．解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线方程为的一个焦点为（，0），∴c n =a n +a n ﹣1． 又∵一条渐近线方程为，∴，即=2，∴=2n+1． ∴=3×2n．（II ）设T n =+…+①，=②，①﹣②得，•==，∴T n=﹣﹣，故原不等式等价于+log a x恒成立，∴log a x≥0．∵a＞1，∴x≥1，∴实数x的取值范围是[1，+∞）．5.解答：解：（Ⅰ）由①得②①﹣②得：8a n=（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）+4a n﹣4a n﹣1，整理得：（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）=0（n≥2，n∈N），∵{a n}为正项数列，∴a n+a n﹣1＞0，则a n﹣a n﹣1=4（n≥2，n∈N），∴{a n}为公差为4的等差数列，由，得a1=3或a1=1，当a1=3时，a2=7，a7=27，不满足a2是a1和a7的等比中项．当a1=1时，a2=5，a7=25，满足a2是a1和a7的等比中项．∴a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3；（Ⅱ）由a n=4n﹣3，得，由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2m≤n＜2m+1时，[log2n]=m，令=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n﹣1+…+n∴S=1×21+2×22+3×23+4×24+（n﹣1）×2n﹣1+n ①2S=1×22+2×23+3×24+4×25+（n﹣1）×2n+2n ②①﹣②得：=，∴S=（n﹣2）2n+n+2，即=（n﹣2）2n+n+2．6.。