s si
例4 已知 F ( s ) 12 ，求 F ( z ) 。 s 解:
N 1 , l 2 ， s1 0
2016/8/2
2 1 s 2 z 1 d s F (z) sT ( 2 1)! ds z e
查表得
y(kT) (1)k (2)k
(k 0,1,2,)
为了书写方便，通常将 kT 写成 k 。
第2章 线性离散系统 的数学描述和分析方法
本章主要内容
1.信号变换理论
2.线性离散系统的数学描述方法
3.线性离散系统的Z变换分析法
4.脉冲传递函数
5.线性离散系统的性能分析
2016/8/2 1
2．1 信号变换理论
1. 连续信号的采样和量化 采样过程
f (t )
f (t )
T
f (t )
f (t )
2016/8/2 14
留数法
若 F ( s ) 已知，具有N个不同的极点，有 l 个重极点
（ l =1，为单极点），则
1 d l 1 F (z) ds l 1 ( l 1 )! i 1
N
( s si ) l F ( s ) z sT z e
由线性定理: Z[ y(k 2)] Z[3 y(k 1)] Z[2 y(k )] 0 由超前定理: [z 2Y ( z ) z 2 y(0) zy(1)] 3[ zY ( z ) zy(0)] 2Y ( z ) 0
2016/8/2 19
代入初始条件，解得
Y (z) z z z z z 2 3 z 2 ( z 1)(z 2) z 1 z 2
k 0

令： 则：
2016/8/2
ze
Ts

F ( z ) Z[ f * ( t )] f ( kT ) z k
k 0
11
注意：
（1）只有采样函数 f * ( t )才能定义Z变换； （2）比较下面两式
f * (t ) f (0) (t ) f (1) (t T ) f (2) (t 2T )
f1 为 t 1T 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f (1T ) ；……； 。
f k 为 t kT 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f ( kT ) 。
则：
f k f (kT) (t kT)
只有在 t kT 时刻，才有 ( t kT ) 0，而在的 所有 t kT时刻，都有 ( t kT ) 0 。
f * (t ) 0.6 (t T ) 0.84 (t 2T ) 0.936 (t 3T )
2016/8/2
16
部分分式法
例6 用部分分式法求 F ( z ) 解：
F (z) A A2 1 z z 1 z 0.4
A1 ( z 1) 0.6 z 2 1.4 z 0.4
0
2016/8/2
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T
t /T
0
T 2T 3T
4T
5T 6T 7T 8T
t /T
2
图1
采样过程
在计算机控制系统中，采样信号 f * (t ) 是一数 字序列，可分解成一系列单脉冲之和。
f * (t ) f 0 f1 ＋f k
f 0 为 t 0T 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f (0T ) ； 式中，
z pi
f (kT ) lim( z p )F ( z )z
k 1 i 1 z pi i
n 2, p1 1, p2 0.4
0.6 z k 0.6 z k f ( kT ) lim ( z 1) 2 lim( z 0.4) 2 z 1 z 1.4 z 0.4 z 0.4 z 1.4 z 0.4 1 (0.4)k
2．2
线性离散系统的数学描述方法
1. 差分方程
y(kT ) a1 y(kT T ) a2 y(kT 2T ) an y(kT nT ) b0 r (kT ) b1r (kT T ) b2 r (kT 2T ) bm r (kT mT )
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t
6 5 4 3
A4
A3
'
'
A5
'
A6
'
A7 A8
'
'
A2 A1
'
'
2 1
0
为量化过程。
2016/8/2
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t
图3
量化过程
5
2. 采样定理
F ( j )
F ( j )
*
s / 2
0
s / 2
2 s
s
0
s
2 s

输入信号
k , r(kT) 0, k0 k0
初始条件 y(0) 2 ，试求解差分方程。 解：令：k 1,2,3 ，代入差分方程，得
y(0) 2, y(T ) 1, y(2T ) 3, y(3t ) 2, y(4T ) 6,
2016/8/2
10
2． 3
0.6 z 的Z反变换。 2 z 1.4 z 0.4
z 1
1
1
A2 ( z 0.4)
0.6 z 2 1.4 z 0.4
z 0.4
F (z)
z z z 1 z 0.4

2016/8/2
f (kT) Z 1[F ( z )] 1 (0.4)k
kT t
图2
对单位脉冲序列的调制

因此：
2016/8/2
f * ( t ) f ( kT ) ( t kT )
k 0
4
量化过程
6 5 4 3
f (t )
A4
A3
A2 A1
A5
A6 A7 A8
所谓量化，就是采用 一组数码（如二进制
2 1
0
q
t1
f (t )
*
码）来逼近离散模拟
信号的幅值，将其转 换成数字信号。这个 经量化使采样信号成 为数字信号的过程称
2016/8/2 18
3.用变换解差分方程
用变换求解差分方程主要用到变换的平移定理。 例8 用Z变换解下列差分方程：
y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k ) 0
初始条件为： y(0) 0, y(1) 1 解： 对上式进行Z变换得
Z[ y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k )] 0
将上式两端同时乘以 z 1 ,有
z 1F ( z ) z 1 z 2 z 3
①
②
①式减②式 (1 z 1 )F ( z ) 1
1 则： Z [1( t )] F ( z ) 1 1 z 2016/8/2
13
部分分式法 例3 已知
解: F ( s )
——线性离散系统的差分方程
r (t )
(s)
y (t )
r (k )
T
(s)
y (k )
T
（a）连续系统 图6
（b）离散系统 连续系统和离散系统
2016/8/2
9
2 . 差分方程的求解
例1 已知一个数字系统的差分方程为
y(kT ) y(kT T ) r (kT ) 2r (kT 2T )
s 2max
采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于 连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。 因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中 还要根据系统的实际情况综合考虑。
2016/8/2 7
3.采样信号的复现和采样保持器
保持器
保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连 续信号，实现采样点之间的插值的元件。
(a)
G1 ( j )
(b)
C ( j )
F ( j )
F ( j )
*
C ( j ) F ( j )
s / 2
0
s / 2

s /2
0
s /2

(c )
(d )
图4
f (t ) 、 f * ( t ) 的频谱 F ( j ) 及从 F * ( j ) 恢复 F ( j )
零阶保持器
* e (t )
e * (t )
零阶保持器 (b)
e h (t )
eh ( t )
。
0
T
2T
t /T
0
T
(a)
2
T
2T
t /T
(c)
图5
零阶保持器的功能
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 e(kT )一直 * 保持到下一个采样时刻 ( k 1)T ,从而把采样信号 e ( kT )变成 2016/8/2 8 了阶梯连续信号 eh ( t ) 。
（查表2—1 ）
17
留数计算法
0.6 z 例7 用留数计算法求 F ( z ) 2 的Z反变换。 z 1.4 z 0.4
根据留数定理 f ( kT ) Re s [ F ( z ) z k 1 ]z p
i 1
n
i

Re sF ( z )z k 1
n
z pi