最优控制的应用概述1.引言最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。

最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。

可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。

最优控制是最优化方法的一个应用。

从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。

从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。

这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。

这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。

最优控制理论的实现离不开最优化技术。

控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。

最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。

2.最优控制问题所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。

也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）图1 最优控制问题示意图达到最大（小）值。

最优控制问题的示意图如图1所示。

其本质乃是一变分学问题。

经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。

为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。

最常用的方法就是极大值原理和动态规划。

最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。

2.1 最优控制问题的描述控制系统的最优控制问题一般提法为：对于某个由动态方程描述的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函数达到最优。

2.1.1 系统的动态方程（状态方程）()()[]t t u t X f t x,,)(= 系统状态方程给出了系统内部状态随系统控制输入的变化关系，或者说是内部状态的一种约束关系。

2.1.2 系统状态的始端条件和终端条件始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。

端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。

固定端就是时间和状态值都是固定的端点。

例如初始时间t0及其初始状态X(t0)都固定就称始端固定条件，而终端时间tf 及其终端状态X(tf)都固定就称终端固定条件。

一般来说，两端固定是最简单的情况。

自由端是指端点时间固定，但端点状态值不受任何限制的端点。

有始端自由和终端自由两种。

可变端就是端点时间及其状态值都可变的端点。

但一般它满足一定条件，如满足：初始状态为： x(t 0)=x 0 终端状态x(tf)可用如下约束条件表示N 1[x(tf)，tf]=0 或N 2[x(tf)，tf]≤0。

2.1.3 系统控制域在实际控制系统中，控制输入u(t)往往是不能不受限制地任意取值的，例如作为驱动电机，其输出力矩就有最大力矩的限制。

所以在许多最优控制问题中，需要规定一个允许的控制域。

2.1.4 系统目标泛函（性能指标）即系统的性能指标，一般都是一个函数的函数，即泛函。

在状态空间中要使系统的状态由初始状态)()(0f t x t x →，可以用不同的控制规律来实现。

为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。

性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。

不同最优控制问题就应有不同的性能指标。

同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。

对连续时间系统，目标泛函的一般形式为：[]()()[]⎰+Φ=ft t f dt t t u t x L t x J 0,,)( 式中 J —标量函数，对每一个控制函数()t u 都有一个对应值；L —标量函数：动态性能指标；Φ—标量函数：终端性能指标；)(t u —控制函数整体上式的目标泛函称为综合性或波尔扎（Bolza ）型性能指标，其第一部分表示对系统的终端状态的要求，而第二部分表示对系统的整个控制过程的要求 。

若系统目标泛函只取上式的第一项，即()[]ft x J Φ=，则称为终端型或麦耶尔（Mager ）型性能指标。

若系统目标泛函只取上式的第二项，即()()[]⎰=f t t dt t t u t x L J 0,,，则称为积分变量或拉格朗日（Lagrange ）型性能指标。

以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。

在特殊情况下，可采用如下的二次型性能指标()()()()()()()()[]⎰++=f t t T T f f T dt t u t R t u t x t Q t x t Fx t x J 02121 式中 F —n n ⨯维半正定终端加权矩阵；Q(t)—n n ⨯维半正定状态加权矩阵；R(t)—r r ⨯维正定控制加权矩阵2.2 最优控制问题的分类① 按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统。

② 按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统。

③ 按性能指标分类：最小时间控制问题、最少燃料控制问题、线性二次型性能 指标最优控制问题、非线性性能指标最优控制问题。

④ 按终端条件分类：固定终端最优控制问题、自由终端（可变）最优控制问题、 终端时间固定最优控制问题、终端时间可变最优控制问题。

⑤ 按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、 效果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题。

2.3 最优控制问题的解决方法2.3.1 古典变分法研究对泛函求极值的一种数学方法。

古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。

在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。

因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。

2.3.2 极大值原理(庞特里亚金)极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。

极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。

2.3.3 动态规划(贝尔曼)动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。

3 最优控制理论应用领域最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

[例1] 快速控制问题设初始时刻 0t t =，M 离地面高度为)(0t x ；垂直运动的速度为)(0t x。

什么样的)(t u ，使M 能 最快地到达地面，并使到达地面时的速度等于零？设物体M 的质量为1，)(t x 表示物体离地面的高度。

M 的运动微分方程式为 g t u dtx d -=)(22 图2 快速控制 选择)()()(),()(121t x t xt x t x t x ===为状态变量，可写出M 的状态方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==g t u dtt dx t x dt t dx )()()()(221 其初始条件为⎩⎨⎧==20021001)()(x t x x t x 可把研究的问题变为：寻找一个满足约束条件K t u <)(的控制作用力，使物体在最短的时间内从初态{}T x x t X 20100,)(=到终态{}{}T T f f f t x t x t X 0,0)(),()(21==使00t t dt J f t t f-==⎰为最小，这样的控制)(t u 的方式，称为最优控制)(t u 。

[例2]最少能量消耗问题（飞船月球软着落问题）飞船离地面的高度)(t x ，向上为正，垂向速度可以表示为：)()(t xt v = 设发动机推力为)(t u ， 飞船的质量为)(t m ，F M m +=)0(,M 为飞船自身重量，F 为所带燃料质量。

飞船的初始高度为)(00t x h =，初始速度为)(00t xv =。

选择)()(),()(),()(321t m t x t xt x t x t x === 为状态 图3 飞船月球软着落 变量，可以列出飞船的状态方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==)()()()()()()()(3221t ku t m t xg t m t u t x t x t x 其中k 表示控制力与燃料消耗率成正比的比例常数 初始条件：0t t =时 F M m v t xt x h t x +====)0(,)()(,)(00102001 端点条件：f t t =时 0)()(,0)(121===f f f t xt x t x 约束条件 α≤≤)(0t u 其中，α是发动机的最大推力要使燃料消耗最少，也就是要使飞船在着陆时的质量为最大，即要求使目标函数：)(f t m J =达到最大值。

所要完成的任务是寻求发动机推力的最优控制规律)(t u ，在满足约束条件下，使飞船由初始状态转移到最终状态时，能使性能指标J 为最大。

[例3]拦截问题设)(t x 、)(t v 分别表示拦截器L 和目标M 的相对位置和相对速度向量。

)(t α是包括空气动力与地心引力所产生的加速度在内的相对加速度向量，它是)(t x 、)(t v 的函数，也可以看成是时间的函数。

设m （t ）是拦截器的质量，f （t ）是其推力的大小。

用u 表示拦截器推力方向的单位矢量。

C 是有效喷气速度，可看做常数。

则拦截器与目标的相对运动方程式可写成：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+==C t f m u t m t f t v v x )()()()( α 初始条件为：000000)(,)(,)(m t m v t v x t x === 为实现拦截，既要控制推力f(t)的大小，又要改变推力的方向。

拦截器的最大推力f(t)是一有限值max f ，瞬时推力f(t)应满足：max )(0f t f ≤≤。