高考中常见数学模型归类分析一、新课标的要求新数学课程目标的一个重点是让学生全面了解数学背景、意义和价值，尤其是它的应用性与方法。

数学建模是达到此目标的一个极好途径。

在近几年的高考中，这方面题目的数量和分值逐渐增加，特别是应用题材更贴近实际生活，灵活性也大大提高，那就要求在教学中更应注重培养学生的数学素质。

因此，在高中阶段渗透建模思想是非常必要的。

数学应用题的教学重点在新课程中规定的应用：1、初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法；2、能运用三角函数知识分析处理实际问题, 掌握利用正弦定理、余弦定理解决实际应用；3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决；4、能用抽样方法解决简单的实际问题, 会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题；5、能把一些实际问题抽象成两点分布或超几何分布的模型加以解决；6、能应用导数解决一些简单的实际问题。

这些应用问题会拓展到不等式(一元二次不等式)、数列、解析几何、统计与概率(总体特征数的估计、古典概型)中。

二、高考应用题分类解析本文从数学建模的角度，对高考应用题中常见类型进行归类分析。

根据数学模型的性质和建立数学模型方法的不同，可以对数学模型有各种不同的分类方法，本文按建立数学模型所使用的数学工具将数学模型分为：函数模型、数列模型、不等式(组)模型、三角模型、立体与平面解析几何模型、统计概率模型等。

1、函数模型高中常见的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

函数模型经常涉及到成本投入、利润产出及关于效益、价格、流量、面积、体积等实际问题。

解答这类问题一般要利用数量关系,列出目标函数式,然后用函数有关知识和方法加以解决。

大量的实际问题隐含着量与量之间的关系,建立量与量的函数关系,就成为解题的关键,一旦函数关系建立即可用函数知识使问题解决。

例1 （2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：5030003600- =12，所以这时租出了100-12=88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： 30003000()(100)(150)505050x x f x x --=---⨯ 整理得：221()16221000(4050)3070505050x f x x x =-+-=--+. 所以，当4050x =时，()f x 最大，其最大值为(4050)307050f =.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.例2 (2007年高考试题·广东卷)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）分析：要刻画现实生活中的量与量的相关关系，可以先做出数据的散点图，再根据散点图呈现的规律性进行数据拟合。

回归分析中最重要的是线性回归，即求两个变量的近似函数关系，得到回归方程y bx a =+后，可以用它来预报和控制。

解：(1)略(2)根据数据计算可得：4166.5i i i x y ==∑，4222221345686i i x ==+++=∑，4.5x =， 3.5y =，4142221466.54 4.5 3.50.7864 4.54i ii i i x y x y b x x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， 3.50.7 4.50.35a y bx =-=-⨯=，所求回归方程为0.70.35y x =+。

(3)当100x =时，0.71000.3570.35y =⨯+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低9070.3519.65-=吨标准煤．例3 (2009年高考试题·湖南理科卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。

(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需要新建n 个桥墩，(1)n x m +=,即1m n x =-，所以256(1)(2256(1)(2m m y n n x x x x=++=-++2562256m m x=+- (2)由(1)知，1322222561()(512)22m m f x mx x x x-'=-+=- 令()0f x '=，得32512x =，所以64x =当064x <<时, ()0f x '<,()f x 在区间（0，64）内为减函数；当64640x <<时，()0f x '>,()f x 在区间（64，640）内为增函数，所以()f x 在64x =处取得最小值，此时，64011964m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小。

2、数列模型这类实际问题的数学模型的建立,关键是通过观察、分析、归纳出问题成等差还是等比数列,然后再利用数列知识加以解决,常见问题有利率、产量、降价、繁殖、增长率等。

例4 (2002年高考试题·全国理科卷)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?分析：本题主要考查数列、数列的极限等基础知识。

设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则130b ＝，210.94+b b x ⨯＝，130b ＝，21094+b b x ⨯＝．。

对于1n >，有2+110.94+0.94+(1+0.94)n n n b b x b x ⨯⨯－＝＝，……∴1+110.94+(1+0.94++0.94)n n n b b x ⨯－＝ 110.940.94(30)0.940.060.060.06n n n x x b x -⨯+=+-⨯＝． 当3000.06x -≥，即 1.8x ≤时，+11=30n n b b b ≤≤≤． 当3000.06x -<，即 1.8x >时， 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-∞→∞→，并且数列{}n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x ． 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60(1,2,3,)n b n ≤＝ 则600.06x ≤，即 3.6x ≤（万辆）．综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆．3、不等式(组)模型不等式(组)模型经常涉及到统筹安排、最佳决策、最优化、水土流失、安全责任等一些有关不等量或最值的实际问题。

解答这类问题一般是先列出不等式(组),然后解之即可,关键是找出各变量的关系。

例5 (2002年高考试题·上海卷)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品得到的优惠率＝商品的标价购买商品获得的优惠额.试问： (1)若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率? 解：(1)购买标价为1000元的商品得到的优惠率=10001302.01000+⨯＝33％． (2)设商品的标价为x 元，则500800x ≤≤，消费额：4000.8640x ≤≤．由已知得①0.260134000.8500x x x +⎧≥⎪⎨⎪≤<⎩或②⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+6408.0500311002.0x x x 不等式组①无解，不等式组②的解为625750x ≤≤．因此，当顾客购买标准在［625，750］元内的商品时，可得到不少于31的优惠率.例6 (2008年高考试题·广东文科卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 分析：本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法。

要求某变量的最值,需找出该变量的函数关系。

建立平均综合费的函数关系,设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x Z +≥∈ 此处用基本不等式求函数最小值()10800108005604856024856027202000f x x x x x=++≥+=+⨯= 当且仅当1080048x x=时，等号成立，解得15x = 即为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

例7 (2010年高考试题·广东卷)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。

已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：设预订的午餐和晚餐分别为x个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，依题意可得128646642610540,0,x y x y x y x x N y y N +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪>∈⎪>∈⎪⎩，即3216735270,0,x y x y x y x x N y y N+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪>∈⎪>∈⎪⎩ ①目标函数为 2.54z x y =+。