计算方法上机作业——龙格库塔法
龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用于求解常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）的数值解法。

它是由德国数
学家卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·威尔海姆·库塔（Martin Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的。

龙格库塔法的基本思想是通过数值
逼近来计算微分方程的近似解。

在讲解龙格库塔法之前，我们先来简单回顾一下ODE的一阶常微分方
程的基本形式：
y′(y)=y(y,y)
其中，y(y,y)是已知函数。

龙格库塔法的核心是使用差分逼近计算函数的斜率。

假设我们要求解
的方程为：
y′(y)=y(y,y),
y(y)=y₀
所需计算的点为y₀,y₁,...,yy，对应的函数值为y₀,y₁,...,yy，其中y是步长的个数。

龙格库塔法通过递推关系式来计算估计值，并不断
更新当前点的函数值。

接下来以龙格库塔法的经典四阶形式为例进行说明。

该方法的基本方
程如下：
yy+1=yy+(y₁+2y₂+2y₃+y₄)/6
y₁=ℎy(yy,yy)
y₂=ℎy(yy+ℎ/2,yy+y₁/2)
y₃=ℎy(yy+ℎ/2,yy+y₂/2)
y₄=ℎy(yy+ℎ,yy+y₃)
其中y表示当前步骤，ℎ表示步长，yy表示当前点的函数值，
y₁,y₂,y₃和y₄则表示对应的斜率。

使用龙格库塔法，我们可以通过不断递归计算来求得指定区间（例如[y,y]）上的函数值。

具体步骤如下：
1.确定求解区间[y,y]和初始点(y₀,y₀)以及步长ℎ。

2.初始化：设置yy=y₀，yy=y₀。

3.对所有y=0,...,y−1：
计算y₁,y₂,y₃和y₄，根据上述递推关系式。

根据递推关系式计算yy+1
更新当前点的函数值，即yy+1=y(yy+1)。

更新当前点的y值，即yy+1=yy+ℎ。

4.返回结果：最终求得的函数值。

需要注意的是，选择适当的步长对最终结果的精度和计算效率都有重
要影响。

一般来说，步长越小，计算结果越精确，但计算时间也越长。

龙格库塔法是一种常用的数值计算方法，能够有效地求解常微分方程，并且较为精确。

在应用领域中，龙格库塔法被广泛用于物理学、工程学、
计算机科学等领域，如控制系统的设计、电路仿真、气象预报等。

总结起来，龙格库塔法是一种求解常微分方程的数值方法，通过数值逼近的方式来计算微分方程的近似解。

它具有精度高、稳定性好等优点，在实际应用中有着广泛的应用。