水东江中学九年级上期数学竞赛试题一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（A ）221x y += （B ）21121x x =+ （C ）24535x x --= （D0= 2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（A）（B和3 （C）n（D3．若b a b -=14，则ab的值为 （A ）5 （B ）15 （C ）3 （D ）134．△ABC 的顶点A 的坐标为(2,4)-，先将△ABC 沿x 轴对折，再向左平移两个单位，此时A 点的坐标为（A ）(2,4)- （B ）(0,4)- （C ）(4,4)-- （D ）(0,4)5．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方变形正确的是（A ）2(2)2x += （B ）2(2)2x -= （C ）2(2)4x += （D ）2(2)4x -= 6．如图（1），小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△ABC 相似的是7．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程正确的是 （A ）256(1)31.5x -= （B ）56(1)231.5x -÷= （C ）256(1)31.5x += （D ）231.5(1)56x -= 8．已知x1x π-++的值是（ ）A 、11π-B 、11π+C 、11π- D 、无法确定9．已知关于x 的方程240xx a ++=有两个实数根12,x x ，且1227x x -=，则a 的值为（ ）A 、-3B 、-4C 、-5D 、-6（B ）（C ）（D ）（A ）CAB图（1）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分）9．若二次根式x -4有意义，则实数x 的取值范围是__________.10．在比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地距离为2.5cm ，则甲、乙两地的实际距离为____________km .11．如图（4），在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点， •如果5EF =，那么菱形ABCD 的周长__________.13．关于x 的一元二次方程2(2)260m x mx m --+-=有实数根，则m 的取值范围是________． 14．如图（5），在Rt ABC ∆中，∠C 是直角，AC BC =，30AB =， 矩形DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若DG ∶GF =1∶4，则矩形DEFG 的面积是 ；三、（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．） 16．化简：2·． 17．解方程：221x x +=-.18．解方程：23100x x --=．22．如图（12），在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，连结AF .求证：2FD FB =·FC .ABC DE F图（4）ABC D E FG 图（5）ABEFCD图（7）参考答案与评分建议一、CBDAA CBADA CC二、13．4x ≤ 14．100 15．40 16．3517．6 18．32m ≥且2m ≠ 19．100 20．②③ 三、21．解：原式3a =+ ………………………………（4分）3a =+ ………………………………（6分） 22．解：2210x x ++= ………………………………（2分） 2(1)0x += ………………………………（4分） 1x =- ………………………………（6分）23．解：(5)(2)0x x -+=（x = ……………（4分）125,2x x ==- （125,2x x ==-） ………………………………（6分）24．解：在Rt ABC ∆中，∵15,30b A =∠=︒∴tan bA a=，tan 15tan 30153a b A ==︒=⨯= ……………（4分） ∴903060B ∠=︒-︒=︒，∴tan tan 60B =︒= ……………（6分） 四、25．解：可以组成33，34，35，43，44，45，53，54，55 ……………（2分）34 4533 453455……………（5分）（或表格说明：十位上的数字与个位上的数字之和为8的两位数的概率是：3193=……………（7分） 26．（1）解：设抛物线为：12()()y a x x x x =--∵抛物线的图象与x 轴交于(2,0)A -、(1,0)B 两点，且经过点(2,8) ∴8(22)(21)a =+-， ∴2a =……………（4分）∴抛物线的解析式为2(2)(1)y x x =+-（也可以是2224y x x =+-）…………（5分） （2）2224y x x =+-2211192()42()4222y x x x =++--=+- ∴抛物线的对称轴为12x =-（直接用公式求出也得分）……………（7分）27．证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，∴FD AF =，ADF FAD ∠=∠…………（2分）又∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠ ……………（3分）∵,ADF B BAD DAF CAD CAF ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∴B CAF ∠=∠ ……………（4分） ∴BAF AFC ∆∆ ……………（5分） ∴AF FB FC AF=，即2AF FB FC =⋅……………（6分） ∴2FD FB FC =⋅ ……………（7分）28．解：根据题意得：12122,21x x k x x k +=+⋅=+ ……………（1分）∴222121212()2x x x x x x +=+- ……………（2分）2(2)(21)11k k =+-+= ……………（3分） 解得124,2k k =-= ……………（4分）当14k =-时，[]2(2)4(21)0k k ∆=-+-+> ……………（5分） 当22k =时，[]2(2)4(21)0k k ∆=-+-+<，不合题意，舍去……………（6分）∴4k =- ……………（7分）五、解：设每盏灯的进价为x 元， ……………（1分） 根据题意列方程得：4004(5)590x x--=……………（4分） 解方程得：1232,10x x =-=……………（7分）经检验1232,10x x =-=都是原方程的根，但132x =-不合题意，舍去 ∴10x = ……………（8分） 答：每盏灯的进价为10元. ……………（9分）30方法一：如图（8.1）（没有考虑人的高度不扣分）①将标杆EF 立在一个适当的位置； ……………（6分）②人CD 站在一个适当的位置：通过标杆的顶部E ，刚好看到旗杆的顶部A ……（7分） ③测出人的身高CD ,标杆的高度EF ,人到标杆DF 的距离和人到旗杆DB 的距离 …（8分） ④计算旗杆的高度：∵CEG CAH ∆∆，∴CG EG CH AH =，所以旗杆的高度()DB EF CD AB AH CD CD DF⨯-=+=+…………（9分）（方法二：如图（8.2）①将平面镜放在E 处， ……………（6分）②人CD 走到适当的地方：刚好能从平面镜E 中看到旗杆的顶部A …………（7分） ③测出人的高度CD ，人到平面镜的距离DE ，平面镜到旗杆底部的距离EB …（8分） ④计算出旗杆的高度：∵CDEABE ∆∆， ∴CD DE AB BE =，所以旗杆的高度CD BE AB DE⨯=…………（9分） ） 六、31．（1）证明：∵,PD AB AM BC ⊥⊥，∴BDP BMA ∠=∠∴BPDBMA ∆∆…………（1分）∴,DP BP BP PD AM AM AB AB==…………（2分） 同理：CPPE AM AC=…………（3分） 又∵ABC ∆是等边三角形，∴AB BC AC ==∴12()BP CP BP CPh h AM AM h h AB AC BC BC+=+=+=…………（4分）（也可以用面积相等、三角函数来证明） （2）123h h h h ++=…………（5分）图（8.1）图（8.2）过P 作GH ∥BC ，交AB 于G ，交AM 于N ，交AC 于H 又∵,AM BC PF BC ⊥⊥，∴3h PF MN ==…………（6分） 由（1）可得：12h h AN += …………（7分） ∴123h h h AN MN h ++=+=…………（8分） （3）123h h h h ++= …………（10分）32．解：（1）∵直线28y x =-经过x 轴上的点A 和y∴028,4x x =-=，∴(4,0)A2088y =⨯-=-，∴(0,8)B -…………（1分）又∵抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点∴2204488b b c c c=-⎧=++⎧⇒⎨⎨=--=⎩⎩…………（2分） ∴抛物线为822--=x x y …………（3分）（2）由（1）可得(1,9)D -（注意：可以由公式求出，也可由配方得出）…………（4分）过D 作x 轴的垂线，交x 轴于G∴1OG =ABD AOB AGD AOB AOBD OBDG S S S S S S ∆∆∆∆=-=+-四边形梯形111(89)1(41)9486222=⨯+⨯+⨯-⨯-⨯⨯=…………（6分） （3）过M 作MN x ⊥轴，交AB 于H ，交抛物线于N ，设(,0)M t则2(,28);(,28)H t t N t t t --- 由图可知：222828428(28)AMH AHN t S MH t S HN t tt t t ∆∆--===-----…………（7分） ①当228143AMH AHN S t S t t ∆∆-==-时，解得：124,6t t ==都不合题意，舍去…………（8分） ②当228341AMH AHN S t S t t ∆∆-==-时，解得：122,43t t ==（不合题意，舍去）…………（9分） 由①和②可得：23t =∴22228028()28339t t --=-⨯-=-∴280(,)39N……………………（10分）。