第二十六讲 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)的概念,知道30°， 45°，60°角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求 它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角. 2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
一、特殊角的三角函数值 三角函数 锐角α 30° sin α
DE 3.5 7 . BD 12.5 25
【对点训练】
5.(2012·衡阳中考)如图,菱形ABCD的周长为20 cm,且 tan ∠ABD= 4 ,则菱形ABCD的面积为_________cm2.
3
【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD. ∵菱形的周长为20 cm,
∴菱形的边长为5 cm.
算tan 15°=______.
【解析】设CD=x,因为∠A=30°,所以AC=2x,AD= 3 x,则 AB=2x,BD=2x- 3 x=(2- 3 )x,所以tan
BD （2 3）x 2 3. CD x
15°=
答案：2- 3
解直角三角形 ◆中考指数:★★★☆☆
解直角三角形的四种类型及方法：
【例2】(2012·上海中考)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cos A= 3 ．
5
(1)求线段CD的长； (2)求sin∠DBE的值． 【思路点拨】(1)据已知→求AB→CD (2)据勾股定理→求BC→求DE→sin∠DBE
【自主解答】(1)因为∠ACB=90°，AC=15，cos A= 3 ,所以
【即时应用】
2 2 2 1 ,则cos α =____,tan α =___. 1.若α 为锐角，且sin α = 3 4 3 4 4 2.在Rt△ABC中，∠C=90°,sin A= ，则cos B=__. 5 5
三、直角三角形中的边角关系
在Rt△ABC中，∠C=90°,a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. a2+b2=c2 1.三边之间的关系：________.
AC=2 3 ,求AB的长.
【解析】如图，作CD⊥AB,垂足为D，
在Rt△ACD中，∵AC=2 3 ,∠A=30°,
∴AD=AC·cos 30°=2 3 · 3 3,CD 2 3 3.
2 2
在Rt△BCD中，∵CD= 3 ,∠B=45°,
∴BD= 3 ，∴AB=AD+BD=3+ 3 .
二 、三角函数之间的关系 1.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系： 1 (1)sin2α +cos2α =__；
sin (2)tan α =_______. cos
2.互为余角的正弦、余弦的关系： cos α sin(90°-α )=_______; sin α cos(90°-α )=_______.
BC 1 , ∴AC 3BC 5 3 (米). AC 3
10.(2012·株洲中考)数学实践探究课中，老师布置同学们测 量学校旗杆的高度.小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米 的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度 是______米.
知识 点睛
特别 1.坡度是斜坡的倾斜程度，而不是斜坡的角度. 提醒 2.仰角和俯角都是视线和水平线的夹角.
【例3】(2012·邵阳中考)某村为方便村民夜间出行,计划在村 内公路旁安装如图所示的路灯,已知路灯灯臂AB的长为1.2 m,
灯臂AB与灯柱BC所成的角(∠ABC)的大小为105°,要使路灯A与
5
(D) 2 5
5
【解析】选A.如图所示,
∵∠APC=30°,∠BPC=60°,
∴∠APB=90°.
又∵PB=60× =40,
∴tan ∠ABP=
AP 1 . PB 2
2 3
4.(2012·岳阳中考)如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC
中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计
南偏西30° 210° 2.如图,OA的方向角为__________,方位角为_____.
3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面 1∶2 的垂直距离为2 5 米，则这个坡面的坡度为_____. 4.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1=1∶ 3，坝 75° 外斜坡的坡度i2=1∶1，则两个坡角的和为____.
(A)
5 12
)
12 13
(B) 12
5
(C) 5
13(D)Fra bibliotek【解析】选C.设BC=5k，则CA=12k，AB=13k，
∵BC2+CA2=AB2，∴△ABC是直角三角形． ∴在Rt△ABC中，cos B BC 5k 5 .
AB 13k 13
【高手支招】在解答所求的结论与线段的比有关的问题时，都 可以用设参数“k”的方法求解.由此可以将原有的比值,转化
1.已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法：∠B=90°－ ∠A，a=csin A，b=ccos A(或 b c2 a 2 ).
知 2.已知一直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法：∠B 识 a a c ，b =90°－∠A， (或 b c2 a 2 ). 点 sin A tan A 3.已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法： c2 a 2 ,由 b 睛 a sin A= 求出∠A，∠B=90°－∠A.
如图,OD的方位角为120°.
(3)坡度和坡角： 升高的高度h 水平前进的距离l 从点P上坡走到点N时，____________与________________的比
h 叫做坡度，用字母i表示，即i=__.坡面与水平面的夹角叫做 l
坡角 _____，记作α .
【即时应用】 仰 50° 1.如图，从点A看点B的___角为____.
【核心点拨】 1.当∠A为锐角时,0<sin A<1,0<cos A<1,tan A>0.
2.锐角三角函数的值是一个比值,没有单位,它只与角的大小有
关系,而与三角形的三边长无关. 3.研究和运用三角函数的前提是在直角三角形中,若无此前提, 则要设法构造直角三角形. 4.坡度是描述斜坡倾斜程度的量，它等于坡角的正切值.
(A) 1
2
(B) 2
2
(C) 3
2
(D)1
【解析】选C.设BC=k,则AB=2k，由勾股定理得
所以 sin B AC 3k 3 . AC AB BC （2k） k 3k，
2 2 2 2
AB
2k
2
2.(2011·陕西中考)在△ABC中，三边BC,CA,AB满足
BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B=(
路面的距离AD为7 m,试确定灯柱BC的高度.(结果保留两位有效
数字)
【教你解题】
【对点训练】 8.(2012·嘉兴中考)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两
点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出
AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( )
(A)asin 40°米
(C)atan 40°米
1 2
cos α
3 2 2 2
1 2
tan α
3 3
45°
2 2
3 2
1
60°
3
【即时应用】 1 1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,则tan A=__. 1 2.sin 60°·tan 30°+cos 60°=__. ＞ 3.若α ，β 为锐角，且tan α ＞tan β ,则α ___β .
(B)acos 40°米
(D)
a tan 40米
AB , AC
【解析】选C.∵在Rt△ABC中，tan C= ∴AB=atan 40°.
9.河堤横断面如图所示，堤坝BC=5米，迎水坡AB的坡比是
1∶ 3 ，则AC的长是(
)
(A)5 3 米 (C)15米 【解析】选A.∵
(B)10米 (D)10 3 米
在Rt△ABO中,tan ∠ABD= 4 .
3
故可设AO=4x,BO=3x,又AB=5 cm，
因此根据勾股定理可得AO=4 cm，BO=3 cm， ∴AC=8 cm,BD=6 cm, ∴菱形ABCD的面积为: 1×8×6=24(cm2).
2
答案：24
6.(2012·安徽中考)如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,
5 1 AB= AC =25.又因为D为边AB的中点，所以CD= AB=12.5. cos A 2
(2)BC AB2 AC2 20， 在Rt△BCE和Rt△DBE中，
BE2=BD2-DE2=BC2-CE2,设DE的长为x，
则12.52-x2=202-(12.5+x)2，解得x=3.5， 所以sin∠DBE=
成为具体的数量,再结合题中的其他条件列出含“k”的等式或
者是间接求得其他的比值.
3.(2012·德阳中考)某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位
于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小
时的速度沿北偏西60°方向航行
2 小时到达B处，那么tan ∠ABP 3
=(
(A)
1 2
)
(B)2 (C) 5
睛
特别 锐角的三个三角函数值是在直角三角形中定义的，若无 提醒 直角三角形，则要设法构造直角三角形.
【例1】(2012·内江中考)如图所示，△ABC的顶点是正方形网 格的格点，则sin A的值为( )
(A) 1
2
(B) 5
5
(C) 10
10
(D)
2 5 5
【思路点拨】构造直角三角形→计算sin A→结果