定义1.1 设{t }是 WN(0, 2) ，如果实数
b1, b2 , bq (bq 0) 使得
则称
q
B(z) 1 bj z j 0,| z | 1, j 1
q
X t t bjt j , t Z
(1.2)
j 1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 {Xt} 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
自相关系数
1 2 (b1 b1b2 ), k 0, k 2
1
1
b1 b12
b1b2 b22
, 2
1
b2 b12
b22
, k
0, k
2.
谱密度
f
()
2 2
|1 b1ei
b2ei2
|2
MA(2)序列的实际例子
MA(2)的实际例子：
Xt t 0.36t1 0.85t2
特征根为 1.084652ei1.374297 。
滑动平均模型的例子
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列{Xt ,t 1, 2, 197}。
一阶差分得
yt xt xt1,t 2, ,197
{yt}的样本自相关系数列呈现截尾性。
可以拟合
^
Yt t b t1, t Z
模型特点是k } 1步截尾
(1.1)
MA(q)模型和MA(q)序列
单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(q)系数的计算
MA(q)序列的系数 (b1,b2, ,bq )及 2可以被
数 0 ,1, , q 唯一确定。 可以用文献 [5]方法计算模型参数。
MA(q)系数的计算
记
0 1 0
0
0
1
A
0
0
0
0 0 0
1 2
如果进一步要求多项式 B(z) 在单位圆周 上也没有零点：Bz 0, 当 | z |1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。Fra bibliotekMA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t , t Z
(1.3)
对于可逆MA，B1(z) 有Taylor 展式
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0 1
0
0
qq
k
k 1
,
qk1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中
bq
1
2
(
q
AC), 2 0 CT C,
(1.12)
lim
k
k k1Tk
.
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t bt1,t WN (0, 2 ),| b | 1
ARMA模型
定义2.1 设{t}是WN (0, 2 ) 。实系数多项 式 A(z) 和B(z) 没有公共根。满足
b0 1, apbq 0
以及：
p
A(z) 1 a j z j 0,| z | 1, j 1
q
B(z) bj z j 0,| z | 1, j0
(2.1)
就称差分方程：
(1.5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{Xt}的自协方差函数 是q步截尾的：
q 2bq 0, k 0,| k | q.
并且有谱密度
(1.6)
(1.7) f
()
2 2
|
B(ei ) |2
1
2
q
keik , [ , ].
k q
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{Xt} 有自协
MA(2)序列
可逆MA(2)
X t t b1t1 b2t2 , t Z
B(z) 1 b1z b2z 0,| z | 1.
可逆域：
{(b1,b2 ) : B(z) 0,| z | 1} {(b1, b2 ) : b2 b1 1,| b2 | 1}
自协方差
0 2 (1 b12 b22 ), 2 2b2
第三章
滑动平均模型与 自回归滑动平均模型
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
q步相关
平稳序列{Xt}的自协方差函数若满足 q 0， k 0, k q ，则称{Xt} 是q步相关的。
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2
(1, 2 ) (0.3596, 0.4589).
§3.2自回归滑动平均模型
ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
使得
j 1
g() 2 | B(ei ) |2 . 2
(1.8)
这里 2 为某个正常数。(注：cj c j )
定理1.3的证明
由自协方差绝对可和时谱密度公式得
f
()
1
2
q
k eik
k q
由引理，
f () 2 | B(ei ) |2 . 2
B(z) 单位圆内没有根
如果 B(z) 在单位圆上都没有根，则可定 义 t B1()X1 ，用线性滤波的谱密度公式 可得{t} 的谱密度是白噪声谱密度。
自协方差和自相关
0 1
2 (1 2b
b2
)
k 0, k 2
1
b 1 b2
k 0, k 2
谱密度
f () 2 |1 bei |2 2 (1 b2 2b cos ), [ , ]
2
2
偏相关系数不截尾：
逆表示
ak ,k
(b)k (1 b2 ) (1 b2k2 )
,k
1
t (b) j X t j j0
方差函数{ k} ，则{Xt} 是MA(q)序列的充 分必要是
q 0, k 0,| k | q.
引理1.2
引理1.2 设实常数{c j} 使得 cq 0和
g()
1
2
q
c jeij
jq
0, [ , ].
则有唯一的实系数多项式：
q
B(z) 1 bj z j 0,| z | 1, bq 0.
B1(z) j z j ,| z | 1 ( 0) j0
所以 t B1() X t j X t j j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b0 1 ，则对MA(q)序列有 EXt 0 ，
2
qk
j0 bjbjk ,0k q
E(X X ) k
t tk
0, k q