从（1）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
精选
14
从（2）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
从（1）-（2）得到：
u(ti)u(ti1)2 hu(ti1)O (h2)
从（1）+（2）得到：
u (ti)u (ti 1) 2 u h (2 ti) u (ti 1 ) O (h 2)
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对经典的初值问题
du
dt
f (t,u )
u ( 0 ) u 0
t (0,T)
满足Lipschitz条件
4
常微分方程的数值解
大气科学中
常微分方程和偏微分方程的关系
1. 大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大 气薄层,1—1.5km), 埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典） 螺线的导出；
2. 1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的 不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由 Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确 定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.
ìïïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1¢=
x
¢
2
=
x
¢
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
x
¢
4
=
x
¢
5
=
-
2 x1 + 4 x2 x3 + 9 x2 + 3 x1x3 5 x3 - 7 x1x2 + 5 x4 - x1x6 x5 - 3 x1x4
4 x4x5 Re
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11
欧拉法—折线法
• 常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是 借助于计算机来求常微分方程的近似解；
偏微分方程数值解 (Numerical Solution of
Partial Differential Equations)
主讲：王曰朋
eduwyp@
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1
参考数目
1. George J. Haltiner, Roger Terry Williams, Numerical Prediction and Dynamic 2. Meteorology(2nd Edition), the United States of America, 1979.
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6
50 40 30 20 10
0 -10 -20 -30
0
5
10
15 20 精选25 30 35
40 45
50
7
50 40 30 20 10
0 20
0
-20 30
20
10
精选
0
-10
-20
-30
8
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9
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10
Franceshini 将Navier-Stokes方程截断为五维的
截谱模型如下：
3. Charney, Fjortoft, and Von Neumann(1950),
借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC)，利
用一个简单的正压涡度方程
（C.G.Rossby,1940）对500mb的天气形式作
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3
了24小时预报---成功；
The Electronic Numerical Integra精to选r and Computer (ENIAC).
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2
数值天气预报—PDE数值解
1. 挪威气象学家V.Bjerknes（1904）提出数值预 报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以 预报将来某个时刻的天气—思想；
2. L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分 进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计 算稳定性问题“Courant,1928”）并没有取得预 期的效果—尝试；
4. Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press,1996.
5. 李荣华，冯国忱. 微分方程数值解. 北京：人民教育出版社，1980. 6. 徐长发，李红. 实用偏微分方程数值解法. 华中科技大学出版社，2003. 7. 沈桐立，田永祥等. 数值天气预报. 北京：气象出版社，2007.
u ( t h ) u ( t ) u ( t ) h 1 u ( t ) h 2 1 u ( t ) h 3 L 1 u ( n ) ( t ) h n O ( h n 1 ) （1）
2 ! 3 !
n !
u ( t h ) u ( t ) u ( t ) h 2 1 ! u ( t ) h 2 3 1 ! u ( t ) h 3 L n 1 ! u ( n ) ( t ) h n O ( h n 1 ) （2）
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2.差分格式求解 将积分方程通过差分方程转化为代数方程求
解，一般常用递推算法。
在常微分方程差分法中最简单的方法是 Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从 中可领悟到建立差分格式的技术路线，下 面将对其作详细介绍:
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差分方法的基本思想“就是以差商 代替微商”
考虑如下两个Taylor公式：
• 有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效 的方法；
• 建立差分算法的两个基本的步骤：
1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分； b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断 误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体 截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速 度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）.
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5
Lorenz系统
dx / dt = a (y - x) dy / dt = x (b - z) - y dz / dt = xy - c z
其中，a=10,(Prandtl number); b=28(Rayleigh number); c=8/3; (x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)