附:二重积分的对称性质
一般的本科教材中都末具体给出,但在计算积分中经常用到,现补充如下:
结论1:如果积分区域 关于 对称, 则
结论2:如果积分区域 关于 轴对称, 则
结论3:如果积分区域 关于坐标原点 对称,则
其中
结论4:如果积分区域 关于直线 对称,则
三重积分的对称性,由教师自己给出。
二、补充例题
, 所围区域。
解:旋转面方程为 ,积分区域
注:本题若采用先一后二法,将较麻烦！
例7设函数 连续, ,其中
,试求 与
解: 在 平面上投影 为圆 ,于就是
当 时有:
当 时有:
且 时,有 ,所以
从而
例8求曲面 在点 的切平面与曲面 所围立体的体积
解:不难想象,该立体的上、下底曲面一个就是曲面 的一块,一个就是切平面的一块,首先确定立体在 平面上投影区域
由于切平面的法向量就是 ,切平面方程:
,即
从而切平面与曲面 的交线就是 ,消去 ,可得投影 ,注意到在 上, ,所以
例9设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 取何值
时, 在定球面内部的那部分 的面积最大?
解:可设 的方程为 ,从而两球面的交线就是
,于就是 的方程为
在 在投影为
的面积为
,得驻点 ,
,
而
因此球体 的重心位置为 。
解法2:设所考虑的球体为 ,球心为 ,以定点 为原点,射线 为正 轴建立直角坐标系,则球面方程为: 。
设 的重心位置为 ,由对称性得: , ,
而
故 ,因此球体 的重心位置为 。
三、练习题
1．计算 ,其中区域 就是由抛物线 及直线 所围成的区域
2．计算 ,其中 就是由 所确定的区域
例1.利用二重积分性质,估计积分
的值,其中 就是图形区域:
解法1、首先求 在 上的最小值 与最大值
由于 , ,令 , 得驻点 ,
的边界 ,此时
, ,
,
解法２:由积分中值定理,在 上至少 ,使
其中 ,且 ( )
例2求 ,其中
解:如图,曲线 把区域 分为 与 ,其中 , ;
例3证明 ( 连续)
证:左端= , ,作出积分域交换积分顺序,
第10章重积分
一、内容分析与教学建议
重积分与定积分一样,都就是来自实践中非均匀求与的需要,各种积分就是不同维数空间
的具体表现,因此教学中要从实例引出概念,且重点讲透二重积分概念与计算,避免平均使用力量
（一）重积分概念及性质
关于重积分的概念,可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例,在回顾定积分定义的基础上,通过分割、近似、求与、取极限来建立,至于性质的证明,可略讲。
3．计算 ,其中 为正方形区域:
4．更换积分次序
① ②
５、计算由平面 及 所围成的立体的体积
6、用二重积分求曲线 所围区域面积
7.球体 与 的公共部分为一立体,求其体积
8.用不同的积分次序(分别去对 积分)计算三重积分 ,其中 为由圆锥面的 及平面 所围成区域
9.分别用柱面坐标、球面坐标与直角坐标计算三重积分 ,其中 就是由球面 及圆锥面 所围成(含 轴部分)
,
当 时, 的面积最大。
例10有一半径为 的球体, 就是此球的表面上的一个定点,球体上任一点密度与驻
点到 距离的平方成正比(比例常数 ),求球体的重心位置。
解法1:证所考虑的球体为 ,以 的球心为原点O,射线 为正 轴建立直角坐标系,则点 的坐标为 球面方程为
设 的重心位置为 ,由对称性得: , ,
重积分的具体计算,通常要考虑到以下几个方面,选择合适的坐标系及恰当的积分顺序,确定积分的上下限,正确使用对称性(见附后),最后可通过一些综合例子,加强这方面理解与训练。
（三）重积分应用
首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法,其次要结合足够实例,使学生掌握用重积分来计算几何量(如面积体积等)及物理量(重心、转动惯量等)。
关于三重积分的概念与性质,与二重积分类似,教学上不必花较多时间。
（二）重积分的计算
重积分一般都就是化为累次积分来计算的,转化的关键就是确定积分的上下限。对于二重积分,在推出直角坐标与极坐标的计算公式之后,应多举些例题,重点讲解画图,解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。
关于三重积分,这部分内容比较复杂,教学上应细致。计算方法有直角坐标、柱面坐标与球面坐标法。对于直角坐标,除了讲解一般方法(先一后二法),还应介绍先二后一法。关于极坐标与球面坐标,首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲面的表示方法,然后在此基础上,结合几何意义,讲解定限及积分计算的具体方法。
10.求球面 含在圆柱面 内部的那部分面积( )
左端＝ 右端,证毕!
注:本题还可这样证明:
令 ,证明
例4设 在区间 上连续,且 ,试证明
证:设平面区域 , 关于直线 对称
例5计算 ,其中 由 , , 围成。
解:如图,作曲线 ,则积分区域被分为 与 , 关于 轴对称, 关于 轴对称。由于被积函数就是 的奇函数,故有 ,由于 的奇函数,故有
例6计算 , 就是由 平面上曲线Байду номын сангаас绕 轴旋转所得平面