B 题 麻将问题摘要麻将，又名麻雀牌，三种基础花色的名字叫做“万、条、筒”。

在中国麻将竞赛规则下，本题主要通过玩家和牌情况，推断其牌型即为“见万就和”的极致牌型问题。

至于问题一，玩家牌型的问题。

我们在尽量简化麻将模型与本题的契合度的情况下，在去除掉麻将繁琐的牌数及规则以后，运用集合及逐步分析的方法，借鉴常微分方程中picard 逐步逼近法的证明方法，通过引理及定理的证明，从而建立了非常简单的C B A +=的集合模型，并在我们模型的条件下找到了适合的5种解。

9}6,7,8,9,9,1,2,3,4,5,,1,{11=C ；8}6,6,6,6,7,1,2,3,4,5,,1,{12=C ；,9,9,9},4,5,6,7,8{2,3,4,4,43=C ；,6,7,8},4,5,6,6,6{2,3,4,4,44=C ；}8,7,7,7,7,6,5,4,3,3,3,3,2{5=C 。

至于问题二：玩家牌型的唯一性问题，在借鉴了问题一中得数学模型及牌型解得情况下，通过麻将规则及本题的和牌规则验证了5组解得合理性及可实现性，我们得到了玩家唯一的牌型9}6,7,8,9,9,1,2,3,4,5,,1,{11=C ，即满足题意的玩家牌型是唯一的，术语：九莲宝灯。

关键词：九莲宝灯，见万就和，数学建模麻将问题，逐步分析法。

一个麻将玩家手中的牌，使得他摸到或吃到任何一张“万”牌都和。

问这个玩家手里是什么牌？要求给出算法，并考虑唯一性的问题。

不能光给答案。

根据中国麻将竞赛规则，筛选出来一定的牌，然后通过集合的笛卡尔积，根据和牌的牌型，整理出可能的排列组合，然后对相关的组合进行验证，得出玩家手中的牌。

通过反证法，证明牌型的唯一性问题。

二、模型假设● 模型和牌的规则是建立在中国麻将竞赛规则的标准之上的。

● 通过相关资料的证明，本题中的相关数据与字牌及花牌没有联系，故模型中不考虑东南西北中发白及花牌的影响，只考虑91-万、条、筒。

● 又万、条、筒的性质在本文中是等价的，则本文中仅以万为例来分析牌型。

● 模型中支持一杠多用，为了简化模型难度，从而假设文中不考虑明杠与暗杠。

● 模型过程中忽略了实际打牌过程中的总体大局的考虑。

三、符号约定A ：9,9,9,9},2,1,1,2,2,2,,1,{1 =A 代表91-万共36张牌的集合。

B ：A 的子集，共23个元素。

C ：A 的子集，共13个元素，同时代表玩家未和牌时的牌型。

n ：代表介于3与7万之间的牌或3与7之间的整数。

S ：A 集合能够构成的所有1组13张万子解中缺少n 的某一个。

1S ：S 中所有满足大于1小于1-n 的牌的集合。

2S ：S 中所有满足大于1+n 小于9的牌的集合。

麻将，作为一种大众化的游戏，群众在玩乐时必定也会考虑它的社会责任等影响，如它的公平性，是否会被不法份子利用，或对玩者心理造成恶性影响等。

经过各种资料的查询，本题用专业术语来讲称为“见万就和”或者叫做“九莲宝灯”，我们首先对问题进行初步研究，在最理想的情况下——排出了人为因素的影响，本文主要从它和牌的基本原理入手，尽量简化麻将模型，转化为数学集合及排列组合的问题。

为能够较为容易地得到理想的，最能体现实际情况的结果，我们有必要从简入繁，从易入难分析讨论。

先忽略东南西北中发白以及花牌等因素，在不考虑万、条、筒区别的情况下通过数学排列组合求出近似结果，然后再一一添加各类因素，逐渐逼近理想结果。

我们对问题进行更加深入地研究分析，通过对麻将规则的理解及和牌形式的分析，我们简单的将麻将牌和其和牌看做三个集合的加减问题A为麻将牌集，C B A +=,C 为玩家牌型共13张，B 为其补集，通过建立相应的排列组合，从而求得C 的不同的取法。

五、模型的建立与求解5.1.1模型的建立中国麻将竞赛规则下的和牌的基本牌型 ：（1）11、123、123、123、123（2）11、123、123、123、111（1111）（3）11、123、123、111、111（1111）（4）11、123、111、111、111（1111）（5）11、111、111、111、111（1111）本题转化成等价的、抽象的数学问题：集合9,9,9,9},2,1,1,2,2,2,,1,{1A =代表91-万共36张牌，C B A +=，子集B有23个数字，子集C 有13个数字，要求B 的任何1个数字加上C 的13个数字组成5群，1群是相同的2个数字，其余每群是相同的3个数字或者连续的3个数字，试求C 有几种不同取法？（即)}2,2,2(),2,2,2(),2,2,2(),2,2,2(),1,1{(1_=+B C 其中)1,1(表示相同的2个牌，)2,2,2(表示连续的3张牌或者3张相同的牌，此时处于和牌的情况）从常微分方程picard 逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的基本原理中，比对得出了此题的基本模型。

从对两个引理的证明中，我们引出了一个定理的证明，通过对定理的证明，我们得到了符合题目要求的C 的5个取法，然后运用实际理论的验证，排除掉不合理的部分，从而得到了正确的玩家牌型。

5.1.2模型的求解定义1：凡是符合麻将和牌问题的l3张万字牌称为1组解或称1组13张万字解．定义2：只差所需要的一张牌即能和牌的状态称为听牌，此时的解称为听解。

集合C 必然处于听牌状态。

关于13张万字听解对于1万～9万中任何1张都是和牌时发生的情况叙述如下（1万～9万分别用1-9数字来表示）：和的牌 和牌时相对应的牌型1 （1 1） （1 1 1） （12 3）2 （2 2） （2 2 2） （1 2 3） （23 4）3 （3 3） （3 3 3） （1 2 3） （2 3 4） （34 5）4 （4 4） （4 4 4） （2 3 4） （3 4 5） （45 6）5 （5 5） （5 5 5） （3 4 5） （4 5 6） （56 7）6 （6 6） （6 6 6） （4 5 6） （5 6 7） （67 8）7 （7 7） （7 7 7） （5 6 7） （6 7 8） （7 8 9）8 （8 8） （8 8 8） （6 7 8） （7 8 9）9 （9 9） （9 9 9） （7 8 9）表格 1以上所有不同情况共有3+4+5*5+4+3=39种，39种中有2*9+3*30=108张，除去使得和牌的39张后，把剩下的69张按照牌名、出现次数进行统计(见下图)。

每张牌出现次数的平均值为7327969≥=，大于平均值的有3万，4万，5万，6万，7万，它们在麻将和牌问题中具有相对重要的权数，获得下述结果。

引理1 任何1组13张万字解都有3，4，5，6，7。

（反证法） 证明：假设1组13张万子解中没有n 万()Z n n ∈≤≤,73,S 表示所有1组13张万子解中缺少n 万的某一个。

由于缺少了n 万，所以n 前后将构不成连续的3张。

故可以将1组13张万子解分为两个集合1S 和2S 如下:}11,{1-≤≤∈=n x S x x S ，}91,{2≤≤+∈=x n S x x S ,21S S S += S1的张数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S2的张数 13 12 11 10 9 8 76 5 4 3 2 1 0表格 2由表1我们得到了关于和牌的一个性质：性质1 在当前模型下，当1S 张数少于8张时，若加入1~9中的任何一张都能和牌，即现在的和牌能以九莲宝灯的形式出现，1S 的张数只能有2,3,5,6张这几种情况的一种。

证明：假设和牌时可以为1,4,7张。

① 当1S 为1张时，若加入n 后的任意一张均构不成和牌的条件② 当1S 为4张时，则这四张牌有五种可能的情形，第一种情形是四张牌相同，第二种情形是三张相同，第三种情形是两张相同另两张也相同，第四种情形是两张相同另两张不同，第五种情形是四张牌均不相同，对第一种情况来说加入n 前的任何一种不同与这张牌的任何一种牌，均不会构成和牌的情形，对于第二种情形加入n 后的任何牌后则1S 中的不同与其他三张的那一张牌均不能与任何牌连成顺子或将牌，第三、四、五种情形中加入n 后的人一张牌均构不成表一中的和牌情况，所以九莲宝灯的和牌情况中1S 的牌的张数不可能会出现五张牌③ 当1S 为7张时，若加入n 后的任何一种牌数，因为没有n 的出现1S 的7张牌均不能构成和牌所要求的或是顺子或是将和三张连续的情形从而所以九莲宝灯的和牌情况中1S 的牌的张数不可能会出现七张牌因此九莲宝灯的和牌情况中1S 的张数中不会出现1、5、7的情形，从而命题的证。

分出5部分来证明引理1：1) 1S 的张数等于0，3，6时，从1，2，⋯，(n-1)万中取任一张加入13张后应该和牌，由性质1得1S 的张数等于1，4，7无法形成和牌，发生矛盾，所以不能出现这种情况。

2) 1S 的张数等于1，4，7时，从n+1，n+2，⋯，9万中取任一张加入13张后应该和牌，由性质1得1S 的张数等于1，4，7依然无法形成和牌，发生矛盾，所以不能出现这种情况。

3) 1S 的张数等于2时，可能是相同的2张或者不相同的2张。

前者从1,2，…，（n-1）中除去与之相同的牌后，在剩下的牌中任取1张；后者从a+1，a+2，…，9中任取1张，这样出现的14张均无法和牌，发生矛盾，所以1S 不能取2张。

4) 1S 的张数等于5时，出现多种情况；4张相同，1张相异；3张相同，另2张相同；3张相同，2张相异；2张相同，3张不相同；5张各不相同等．不论如何，总能从1，2，…，（n-1）或者（n+1），(n+2)，…，9万中取出1张，一方面，13张加上1张应该是和牌，与另一方面，13张加上1张破坏和牌，产生矛盾，以致1S 的张数不能等于5。

5) 1S 的张数等于8，9，10，11，12，13时，相应的2S 的张数等于5，4，3，2，1，0。

采用类似的证法得出2S 的张数不能等于0，1，2，3，4，5。

综上得，引理得证。

进一步的得出了引理2引理2 任何1组l3张万字解(除去引理1中的5张外)还有2万，8万。

证明：① 假设1组13张万字解中没有2万，对于1万而言的和牌，l3张中有5种情况；Ⅰ、没有1万；Ⅱ、1万1张；Ⅲ、1张2张；Ⅳ、1万3张；Ⅴ、1万4张。

Ⅰ、当没有1万时，13张中加入1张1万应该和牌．由于没有2万，显然不能和牌，发生矛盾，所以不能没有1万。

Ⅱ、当1万1张时，13张中加入1张n 万(3≤n ≤9)应该和牌，因无2万孤独的1万显然无法和牌，发生矛盾，所以1万1张不能出现。

Ⅲ、当1万2张时，13张中加入1张1万出现和牌，此时出现3张1万，必有一对将牌，记为(n 万n 万)，(3≤n ≤9)．由此可知l3张中有1万2张，n 万2张，其余9张牌组成3付牌，听的牌是1万，n 万．现在13张中加入1张2万应该和牌，显然又无法和牌，发生矛盾，所以1万2张不能出现。