2019上海中学自主招生试卷及答案
1、已知0a ≠，求23
23a a a a a a
++=___________ 【答案】3或1-
【解析】①0a >时，23
231113a a a a a a
++=++=； ②0a <时，23
231111a a a a a a
++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+
【答案】()()212x x -+
【解析】拆项()
()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2
211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________
【答案】3
【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m
=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m
++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为
210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭
4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个
【答案】372
【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：
15x y ≤≤，15x y +>
①1x =时，15y =；
②2x =时，15y =，14y =；
③3x =时，15y =，14y =，13y =；
④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；
⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；
⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；
⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；
⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……
共有12345678765432164++++++++++++++=种
同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=
最大边为12的有12345665432142+++++++++++=
最大边为11的有1234565432136++++++++++=
最大边为10的有123455432130+++++++++=
最大边为9的有12345432125++++++++=
最大边为8的有1234432120+++++++=
最大边为7的有123432116++++++=
最大边为6的有12332112+++++=
最大边为5的有123219++++=
最大边为4的有12216+++=
最大边为3的有1214++=
最大边为2的有112+=
最大边为1的有1
综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种
5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+
6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________
【答案】815
【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且
::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515
DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=
143a -+- 【解析】
8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）
A 、999
B 、1000
C 、1001
D 、1002 【答案】D
9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE
ACB 时，AE =_________ 【答案】32或83
【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得
32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点
H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12
HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥
【答案】见解析
【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥
11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？
【答案】216个
附：无答案试卷题目
1、已知0a ≠，求23
23a a a a a a
++=___________ 2、因式分解：332x x -+
3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________
4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个
5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________
6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________
7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）
A 、999
B 、1000
C 、1001
D 、1002
9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________
10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点
H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12
HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥
11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。