6. （ 2015?重庆）若非零向量 S 满足|叫 --I -夹角为（ )7T~2C .平面向量高考试题精选（一）一 •选择题（共14小题）1. （ 2015?可北）设D ABC 所在平面内一点，’-：’丨，则（ ）2.（ 2015?畐建）已知忑匚心 I A B 1^-- I AC I 二t ，若P 点是△ ABC 所在平面内一点, 且7p-4-4^-，则PB-PC 的最大值等于()|AB| |AC|A . 13B . 15C . 19D . 213. （2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形，『：|=6, $ >|=4,若点M 、N 满足卩",则川-【」；=（) A . 20 B . 15 C . 9D . 64. （2015?安徽）△ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量 …，满足「丨，=2“，U 「=2i+.・, 则下列结论正确的是（）A .卩 |=1B . -ahC . ?，=1D . （4 |+[ ■）丄5. （ 2015?陕西）对任意向量 I 、烏下列关系式中不恒成立的是（ ）A .丨「忡计| '|B .丨-：冋十卩，||―* ―►—► ――*—S- —*C .（日 + b ） 2=|旦+ b |2D . （n+b ） ? （,-¥）=耳2—H 2A .B .7. （ 2015?重庆）已知非零向量 辽， b 满足l b |叫|,且且丄（2 a + b）则呂与b 的夹角为（ )A 7TA.— B . — C . — D . —32 3 6& ( 2014?湖南)在平面直角坐标系中， O 为原点，A (- 1, 0), B (0 ,(5), C ( 3, 0),动点D 满足「|=1,则| ；+飞+ 一丁|的取值范围是()A • [4, 6]B . [ . - 1 , l'i+1]C . [2 一；，2 • ]D . [. - - 1 , +1] 9. （ 2014?桃城区校级模拟）设向量；，E , 7满足 |十币|二 1,二©二—斗 v；, g ■；> =60°则|岀的最大值等于（）A . 2B .C ..二D . 1中的最小值为4|.『，则d 与「的夹角为（ ）(1, 2), b = (4, 2), C =m 3+bi (m€R ),且 d 与占的夹角等—► —于 与•■的夹角，贝U m=( )A . - 2B . - 1C . 1D . 213. （2014?新课标I ）设D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点，则卜・+卜’=10. 上,11. （2014?安徽）设1丨，为非零向量，|l ，|=2|.i|,两组向量•・-.,「，「，― <■和 •」，丁；，均由2个：和2个排列而成，若+巧12. （2014?四川）平面向量•■<= （2014?天津）已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点E 、F 分别在边 BC 、DC 廿尸（B .D .14. （2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平- -------- * --- * --- ___面内任意一点，则;111 - I等于（）A. 11B. 2 1'C. 31.【D. 41二.选择题（共8小题）15. （2013?浙江）设亡]、巳为单位向量，非零向量b=x±]+y p , x、y€R•若巳、巳的夹角为30°则也1的最大值等于^|b|16. （2013?北京）已知点A （1 , - 1）, B （3, 0）, C （2, 1）.若平面区域D由所有满足AP= AB+pl AC （1 w/2手0<^1）的点P组成，则D的面积为____________________ .17. （2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD，垂足为P,且AP=3，则18. （2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点的值为____________ .19. （2011?天津）已知直角梯形ABCD 中，AD // BC , / ADC=90 ° AD=2 , BC=1 , P 是腰DC上的动点U |丨「1的最小值为_______________ .20. （2010?浙江）已知平面向量"a, T （T/o, T H TT）满足IT |=i ，且方与-N的夹角为120°则@1的取值范围是____________________ ."C .「21. （2010?天津）如图，在△ ABC中，AD丄AB，荒唧元帀，丨証11二】，则■ - ■- = ____________22. (2009?天津)若等边△ ABC的边长为|二」，平面内一点M满足“丄亡则与-Y = _____________ .三•选择题(共2小题)23. (2012?上海)定义向量 _一】=(a, b)的相伴函数"为f(x) =asinx+bcosx，函数f(x)=asinx+bcosx的相伴向量"为一U■.= (a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的相伴函数"构成的集合为S.(1 )设g (x) =3sin (x+—) +4sinx,求证：g (x) €S;2(2)已知h (x) =cos (x+ a) +2cosx，且h (x) €S，求其相伴向量"的模；(3)已知M (a, b) (b老)为圆C: (x-2) 2+y2=1上一点，向量”的相伴函数”f (x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围.24. (2007?四川)设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.4(I )若P是第一象限内该椭圆上的一点，且丽孑一号，求点P的作标；(n )设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且/ AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围.平面向量高考试题精选（一）参考答案与试题解析.选择题（共14小题）1. （ 2015?可北）设D ABC 所在平面内一点，’-「，则（ ）由辰近+矗西琲6遍諾宏-忑）二-艇碍疋;且Q 二巴学，则PB-PC 的最大值等于（|AB| |AC|A . 13B . 15C . 19D . 21解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得 A (0, 0), B (丄，0), C (0, t ),t二 P (1, 4),1= (- 1 , t - 4),-4 (t - 4) =17 -(— +4t ),由基本不等式可得 一+4t 呈 ・牛=4, 17 -(*+4t ) <17 -4=13 ,若P 点是△ ABC 所在平面内一点,|AB| lACT .匚(' 1,-4),••• PE *PC = -(*- 1) 解：由已知得到如图故选：A .当且仅当丄=4t 即t=3时取等号, t [2的最大值为13,故选：A .C\---------- 13. （2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形, $ ：|=6，p i|=4，若点 M 、N 满足[''■，< ： ■.■'，则 X - \-V=（ ） A . 20 B . 15 C . 9 D . 6解：•••四边形ABCD 为平行四边形，点 M 、N 满足“ 忙，广丁.•」」『=_扯2-「汕2=12 - 3=9J 16故选：C---- *■ ----------- ------- --- — ------------------ ------ --- * ------ •/=小？( )=汕2-71246. （ 2015?重庆）若非零向量 ,满足|叫=」|b|,且(H -b )夹角为（7T1C .714. （2015?安徽）△ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量，〔满足■- |'. =2,，叮'=2】+「・,则下列结论正确的是（ ） A . |}|=1 B .C . ?，=1D .（ 4 i+[ ■）丄.2：— ► —*- *■ —► —■f- ► ■h 满足・「=2.| , M ： '=^,+，，又一所以 |b 1=2，呂-b=1 ^2>cos120°= - 1,—R T *2 -* _* 2r "Tl v4边XI >2>Cos120° - 4, b =4，所以 4 肚■!)+ b =0，即(4自 + b )・ b =0,即（4；恳）-BC =0，所以（4a+D 丄而;故选D .A •丨「忡计| JB .丨-」制十卩，||C .(日 + b ) 2=|旦+ b |2D . (n+b ) ? (,-¥)扁2-b 2又|COSVN , b >|W , ••• |竝'■ b |哼3||b |恒成立;选项B 错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得 L ： 口训r|-|l 】||；选项C 正确，由向量数量积的运算可得（■.■） 2=「• ：，|2;r ―*f―*= ■—*选项D 正确，由向量数量积的运算可得（ I ■） ?（「_,） = I 2-.’2. 故选：B解：因为已知三角形 5. （ 2015?陕西）对任意向量 I 、 ■ F 列关系式中不恒成立的是（解：选项A 正确,ABC 的等边三角形,解：T ( 一 厂 I J 丄(3 i+2 卜),故选：A7. （ 2015?重庆）已知非零向量 乞，b 满足l b l=4| J ，且且丄（2赳5 与右的夹角 为（ ）解：由已知非零向量込.b 满足lbl=4|且且n 丄（2浬+匕），设两个非零向量巳* b 的 夹角为0,所以占？（ 2 n 十b ）=°，即2过+ I 日I I b | cos 9 =°，所以cos 匸一 g ,0€[0，n ,所以&二匕; 故选C .O 为原点，A (- 1, 0) , B (0, V3), C (3, 0),动点D 满足| ' 1|=1，则|〔+ .+ 1|的取值范围是()A . [4 , 6]B . [ .：|- 1 , I G+1]C . [2 一「；，2 J D . [. " - 1 , ；：” [+1]•••可设 D (3+cos 0 sin 0) ( 0€[0, 2n)). 又 A (- 1, 0), B (0,馅)，...+T =- 一_一•••| ■■.+ ■■+ i|=：T ： _] I — —」’ 二:、-…：=T - 1 Win ( 0+ ^) W ,...(诉一 1)2=8-2V?<8+2S /7sin ( 0+ 0) 爭荀=(听+1) 27TC . -D.& （ 2014?湖南）在平面直角坐标系中, 】解: •••动点D 满足|1|=1 ,C (3, 0),(3十21 ■) =0,即 3? - 2|2 - r?「,=0.即 Vr .> =_,L L ■ ' ■1 -",•••I对i|的取值范围是 -L- 7 .故选：D .9. （ 2014?桃城区校级模拟）设向量；，& 7满足|萄二|£|二1,：恳二-g ,v； 匚 g -；＞ =60 °则G l 的最大值等于（）A . 2B . ＜；C .莎D . 1 解: T 丨 3 |二 | b |二1, 3♦卜二 • f,的夹角为120 ° 设II!-.'-—则―〔—［；'，= .〔— 如图所示则/ AOB=120 ° / ACB=60 • / AOB+ / ACB=180 ° • A , O , B , C 四点共圆—*2 —2 亠亠亠2• • AB 二b _ 2a"b + a 二3•• ■ . ■由三角形的正弦定理得外接圆的直径 当OC 为直径时，模最大，最大为 故选A10. （2014?天津）已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点E 、F 分别在边 BC 、DC 上，BE =迅C, D F= ^DC ,若 AE ?AF=1, CE ?CF =-二，则廿尸（）12解：由题意可得若一上？ I = （「丄 + _'上）? （ —+1 J-） =、， -「i+「- • i+ | ・ |i=2X2 >Cos120°+J ・ 『’・+ 入.i?-』2R=AB sinZACBB .C .—2+4(1+4 A+ 入>Cos120=4 Z+4 卩―2 入p； 2=1 ,二 4 A+4 p—2 入=3 ①.=(1 —入(1 — p) >2 >2 >Cos120 ° (1 —入—p+ 入)(—2)=—即一入一p+入p -—:② .3由①②求得A+ p^—,6~*1 c I™H 严中的最小值为4|.i|2，则"与［，的夹角为（）—k- -_—fe- ■- —h —- —■—■ Q= .i?一i+.1? r+丨‘？1，+ h?l‘=10| r|，不满足―pi ―■ ―>■―—faq=®?^+Q?ti + b|?方+ H?b=5|纠2+4R|2COS a,不满足;” =4 I?l・=8| i|2COS a=4| ||2，满足题意，此时吐(1, 2) , B= (4, 2),它=m$+b (m€R),且日与色的夹角等于与.■的夹角，贝U m=（A. - 2B. - 1C. 1■*CE?CF=-|E C? (-|FC)=配・旳=(1 - EG? (1 - p) DC= (1 -入)AD ? (1 —p) AB二",，匚, V.和丁，均由2个吕和2个b|排列而成，若J所有可能取值开—C. 7T7cos a=_2 12. （2014?四川）平面向量故答案为:11. （2014?安徽）设■■, I.为非零向量，|1，|=2|』，两组向量A.B.解：由题意，设J与丨，的夹角为a,2-•••与•■的夹角为故选：B.②③解：•••向量 a=(1, 2), b = (4, 2),又•••「与r 的夹角等于［［与「，的夹角,irH-4+2」4 （计心吃（M 2）］*解得m=2, 故选：D2V5，13. （2014?新课标I ）设D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点，则卜・+卜’=【解答】 解：•/ D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点,14. （2014?福建）设M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，0为平行四边形 ABCD 所在平 面内任意一点，则八1「I 等于（）A. CiB. 2「「C. 3!」D. 41 斯解：■/ 0为任意一点，不妨把 A 点看成0点，则I ■ ii I I I i= I 1 ' '.i 'I I , •/ M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，•••0 +紀+hC + AD =2AC =40M2m+2),(m+4,故选：D . 二.选择题(共8小题)15. (2013?浙江)设 r ，、-为单位向量，非零向量卜=X 「.x 、y€R .若el夹角为30°则解：• •.•非零向量 .： 二一的最大值等于|b|、‘为单位向量，和|l ・|=j ，；1…---=x 「|+y., 的夹角等于 30° •••二・~=1 X >Cos30°/3 .1 e2 2-12，42+苗syty 2甘予(丫)二亠M 2 故答案为2. 16. (2013?北京)已知点 A (1 ,故当 时十 取得最大值为 1), B (3, 0), C (2, 1).若平面区域D 由所有满足 ■1 w/2w 0w^1W 的点P 组成，则D 的面积为」解：设P 的坐标为(X , y )，则 应&=(2，1)，AC =( 1, 2) , AP = (X - 1, y+1), •••拄二入肚+丛丽, \-l=2A + pl 貰1二X+2怙 1 •/ 1 w 心 0w* 作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形 其中 C (4, 2), D (6, 3), E ( 5, 1), F (3 , •••|CF|= 「 ： I 」| -, 1<2- £ x-H^y+1^1CDEF 及其内部0) 点E ( 5, 1)到直线 CF : 2x - y - 6=0的距离为d=V517. （2012?湖南）如图，在平行四边形 ABCD 中，AP 丄BD ,垂足为P,且AP=3 ,则、，-「’ =•/ AP 丄 BD , AP=3 ,在 Rt △ APO 中，AOcos / OAP=AP=3• | N |cos Z OAP=2| • i|XCos / OAP=2| 上'|=6,-=^l'|^' '|cos Z PAO=3 >6=18为 1.——* ________ 片 |_ ■ ・2【解答】解：因为 —’，=1・丨-.=|「・I 订二匚1 ||「■ |「「-=「「=1. 故答案为：1•••平行四边形CDEF 的面积为S=|CF|Xi=Jg 込匹 =3，即动点P 构成的平面区域 D 的面积为故答案为：3 18. （2012?北京）己知正方形 ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点. 的值由向量的数量积的定义可知,ABCD 中，AD // BC , / ADC=90 ° AD=2 , BC=1 , P 是腰DC上的动点，则|[ / '的最小值为5解：如图，以直线DA , DC分别为x, y轴建立平面直角坐标系,则A（2，0），B（1，a），C（0，a）, D（0，0）设P （0，b）（04）毛）则RK= （2，- b），PB= （1，a- b）.•••「• I1■= （5，3a- 4b）•••丨• ；|= •, l -茅-故答案为5.yBCpD』X20. （2010?浙江）已知平面向量石（^工了，T H IT）满足IT 1=1 ，且方与IT -7T的夹角为120°则反|的取值范围是（0，勺上].H3解：令用|「上|二、「」'=「，如下图所示：则由：= / 二，又与帘的夹角为120°• / ABC=60 °又由AC= | P |二1由正弦定理得：sinC sin603 sinU 3•••I £（0，二］故| .〕的取值范围是（o，丄-］3故答案：（0, 一；］321.（ 2010?天津）如图，在△ ABC 中，AD 丄 AB ，•一 | 丨，」」 一，则1： r 1=_ -';【解答】解：疋•忑二|反 卜|疋,• cos / DAC=sin / BAC , …「」・-.|■■ :A | -/ | -•丄J 一丨!'■.< ,在厶ABC 中，由正弦定理得二一」 ----- 变形得|AC|sin / BAC=|BC|sinB ,ginB sirulBACAC-lS-lAC |-|ADkosZDAC= |AC|-cosZDAC-1 AC IsinZBAC ,=|BC|sinB=故答案为.；22. （2009?天津）若等边△ ABC 的边长为|乜丫,平面内一点M满足丄严，卢厂〔，则解：以C 点为原点，以AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得C ⑴ 0） , k （2好 0） , B （屆 3）,•云二（屆3），丟（如，0），•-仏二故答案为：-2.三•选择题（共2小题）23. （2012?上海）定义向量i."= （a , b ）的 相伴函数"为f （x ） =asinx+bcosx ，函数f =asinx+bcosx 的 相伴向量"为』'.=(a , b )(其中O 为坐标原点).记平面内所有向量的 伴函数"构成的集合为S .(1 )设 g (x ) =3sin (x+一) +4sinx ,求证：g (x ) €S ;2(2) 已知h (x ) =cos (x+ a) +2cosx ，且h (x ) €S ，求其 相伴向量"的模； (3)已知M (a , b ) (b 老)为圆C : (x - 2) 2+y 2=1上一点，向量的 相伴函数” f 在x=x o 处取得最大值.当点 M 在圆C 上运动时，求tan2x 0的取值范围. 【解答】 解：(1) g (x ) =3sin (x+亠)+4sinx=4sinx+3cosx , 其相伴向量’i" = (4, 3) , g ( x ) €S . (2) h (x ) =cos (x+ a) +2cosx =(cosxcos a- sinxsin a) +2cosx =—sin asinx+ (cos a +2) cosx•函数h (x )的 相伴向量'归(-sin a, cos a +2). 则［牛 「「二.:沁：亠二1(3) …的 相伴函数'(x ) =asinx+bcosx= 」’sin(x+ $),I *" 1>1 3.1■- "=+T 萨；_1 旳）(x )相(X)其中 cosT APjr当x+ "k r,k C Z 时，f （x ）取到最大值，故 7Tx 0=2k—sin— ©) =cot ©=f ，--tanx 0=tan (2k n +综上所述，tan2x o€[ — VS , 0) U (0，“用]7T2tan 牝'21 2 1-© 2 b a 且 b 上€[ -XJ?, 0) U (0, a令 m=》，贝U tan2x 0= a2 ■y , m€[-Hl _ —K当-三丄薛m v 0时，函数tan2x 0= 3 2 ---- 单调递减，•- 0v tan2x ow ：；;ID _ —IT 当0vm 函数 tan2xo = 3单调递减，••• - ： Wan2x o v 0.24. (2007?四川)设F 1、F 2分别是椭圆 \ 7 =1的左、右焦点.5 ,求点P 的作标; 4(n )设过定点 M (0, 2)的直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOBO 为坐标原点)，求直线I 的斜率k 的取值范围.】解：(I )易知 a=2, b=1 ,.(I )若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 .设 P (x , y ) ( x > 0, y > 0).为锐角(其中i 1：■'■ - '7，: 三，又2,2?十y 肓，解得 XF IV3, p Ch 产 -- y 2 (n )显然x=0不满足题设条件.可设 I 的方程为y=kx+2，设A (X 1, y 1), B ( x 2, y 2).联立f 2冇X2刃二£莓4 Ckx+2 ) Jqnx 2+16kx+12=0尸kt 十21216h H4k JXi + Ko l+E由厶=(16k ) 2 - 4? (1+4k 2) ?12> 016k 2-3 (1+4k 2)> 0, 4k 2-3> 0,得'.-又/AOB 为锐角 |c =・:'：■ i,第17页(共18页)塁为直线OM 的斜率，由几何意义知: a:;,0) U3联立（M81 廿）M8LWn （吓-*2 - ）>l•••?町H 川P+lH （^9F门（沙E = v+（乙x+・x）”乙忧x.x （”+L）=乙人・人+乙X.x・.・乙V+（乙x+以）比+乙x以治（乙+乙Q）（乙+・Q）=乙心人瓦G0《"皿+张应二匹-yd.。