等腰三角形的性质与判定
知识梳理
1．等腰三角形的概念：
有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．
2．等腰三角形性质定理：
(1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ． (2) 三线合一：即 ． (3)等腰三角形是 图形．
3．等腰三角形的判定：
(1)有 相等的三角形是等腰三角形．
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．
例题讲解
例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．
例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．
例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．
例5 有关等腰三角形的基本图形．
（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？
（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．
有关的题组练习．
（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ． （2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？
D C
B
A
E
D C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何?
推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）．
推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e）．
（5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF 的周长．
课后练习
1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．
2．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为
_____________．
3．若等腰三角形的两边长分别为x cm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则
第三边的长为________．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若∠
CAD=25°，则∠ABE =，若BC=6，则CD=．
5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=
∠EAC，则图中等腰三角形有______个
6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为
___________．
7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到
E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______．
E
D
C
B
A
8．如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长
MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长
是．
9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，•AE=•2cm，•且
DE•∥BC，•则AD=______
10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在
内部添加一些钢管EF，FG，
GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______
根．
11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它们相交于H，且
AE=BE．
求证：AH=2BD．
12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为向△
ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且
∠DAB=∠EAC=90°．
求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．
E
D C
B
A
P
Q
M N G
13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE =
14．如图，AB AC =，30BAD ∠=o
，且AD AE =．求EDC ∠的度数．
15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=o
，CD BA ⊥于 D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．
16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=o ，O 为 AB 中点，若点M ．N
分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．
17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．
18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数．
E M D C
B A。