公理集合论公理集合论把一些符号组成的表达式称为集合，是一种纯粹形式化的理论，彻底摆脱了集合直观语义的束缚。

公理集合论建立在若干公理组成的公理系统之上。

最著名的集合论公理系统是由德国逻辑学家Zermelo和Frankel等人提出的ZFC公理系统。

它包含10组公理，一部分公理规定集合应当具有的几个简明性质，另外一部分公理定义了可称为集合的表达式。

本讲我们先了解公理集合论的渊源，然后重点学习ZFC公理系统。

1.康托的朴素集合论和罗素悖论在思考和表达时，我们会把一些对象视为一个整体，并称之为某某类（class）或者某某集合（set）。

例如，所有的实数构成一个类，实数类又可划分为有理数和无理数等两个类。

这些概念的出现显然是我们对于思考对象进行分类的自然结果，并非人为定义的。

因此，古代数学中就出现了这个概念（古希腊？）。

18世纪的数学家欧拉和19世纪的数学家布尔都分别用这个概念论证亚里士多德逻辑学中的推理模式的正确性。

而对于集合的研究始于19世纪德国数学家康托（Cantor）。

当戴德金用有理数的分割来定义实数时，康托把实数集合作为研究对象。

他证明了实数集合的无穷大比自然数集合的无穷大更大。

这个有趣的发现促使他研究更多更大的无穷集合，发现了一个又一个新颖的关于无穷集合的性质。

这些结果发表在1874年的一篇论文中，开创了集合论这门新的数学分支。

康托在这篇文章中对集合的定义如下（翻译为英文）：A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception or of our thought – which are called elements of the set.显然，这是关于集合的直觉概念，并不是严格的定义（formal definition），我们称之为集合概念的朴素定义（naïve definition）。

事实上，并非任何对象的全体都可以称为集合。

例如，所有集合的全体，若称为集合则导致矛盾。

康托本人在18世纪末就发现了这个矛盾，但是没有声张。

后来英国数学家罗素在1902年发现了另外一个矛盾，表述如下：令T是所有不是自己的成员的集合全体，即=∉{|}xT x x若T是集合，则T是自己的成员当且仅当T不是自己的成员。

这个矛盾在数学史上称为罗素悖论（Russell’s Paradox）。

罗素自己解决不了这个悖论，就写信告诉了德国的弗雷格(Frege)。

弗雷格是一阶逻辑的创始人，他致力于用其所创的一阶逻辑语言表达和分析人类的自然语言和数学语言。

其著作《算术原理》中用到了集合概念。

当他得知罗素所发现的悖论时，上册已发表，下册也即将完稿，但是这个悖论的突然出现迫使弗雷格终止了它的出版计划。

这个悖论提醒了当时的数学家们，并非任何对象的全1体都可以称为集合，我们关于集合概念的直觉是有问题的，必须进行梳理，以正本清源。

为了避免矛盾，ZFC公理系统用10组公理描述集合的基本性质和集合实例的定义方式。

ZFC公理系统已经被普遍接受为现代数学的基础，其基本思想是：（1）把“集合”当作整个数学的第一概念，没有定义，也不可能定义。

（2）建立一个一阶逻辑语言，用于精确地表达关于集合的命题。

（3）设定若干公理，用于指定集合的构造方法和必须具备的性质，以避免出现矛盾。

（4）应用一阶逻辑推理系统证明集合定理，即关于集合的永真命题。

公理集合论是由德国数学家策梅洛所开创。

1908年他首先提出了7组集合公理。

这些公理是用自然语言和数学语言进行描述的。

1921年弗兰克尔（Frankel）指出这些公理不足以证明某些特定集合的存在性。

1922年弗兰克尔用一阶逻辑语言对策梅洛的公理系统进行完善，形成了ZFC公理系统，其中Z指策梅洛，F指弗兰克尔，C指选择公理（axiom of choice）。

几乎同时斯克莱姆（Skolem）也在做这项工作，并于1922年独立于弗兰克尔提出了ZFC公理系统中的替换公理。

1925年，冯诺依曼在其博士论文中指出这个公理系统不能排除包含自己的集合，并提出正则公理（axiom of regularity）以排除这个现象。

目前，ZFC公理系统共有10组公理，被普遍接受为数学的严格基础。

2.元概念元概念是我们思维中形成的直觉概念，不是有严格定义的数学概念，不属于数学理论体系，但是它们是数学概念的原型，我们用以理解和解释数学概念。

下面所列是解释公理集合论时常用的元概念。

对象：客观存在的事物和思想观念，是我们思考和表达的对象。

这显然是一个基于人类直觉的元概念，没有严格的定义，也无法严格地定义。

类：若干对象组成的全体称为类（class），其中的对象称为这个类的成员（member）或者元素（element）。

这也是一个基于人类直觉的元概念。

3.集合论的形式语言以下内容参考自Thomas Jech所著《Set Theory》。

（1）符号表：非逻辑符号包括等号=和成员关系符∈，逻辑符号包括五个联结词x y z与,,,,∧∨⌝→↔，两个量词,∀∃，小括号与逗号，个体变元,,,X Y Z。

,,,（2）公式：由如下两种原子公式=∈x y x y,23通过命题联结词和量词组合而成的一阶公式。

量词公式的简写：()x x y ∀∈简写为()x y ∀∈，()x x y ∃=简写为()x y ∃=语义：集合论的论域为所有集合，因此在集合论中，所谓的对象就是集合。

在集合论公式中，集合用个体变元表示。

x y =表示集合x 与集合y 相等，即两个集合所含的成员完全相同（这个定义将用所谓外延公理给出）。

x y ∈表示集合x 是集合y 的成员。

注意，定义一个集合就是指定该集合的所有成员。

不含自由变元的公式称为语句（sentence ），表示集合命题。

含自由变元的公式称为命题函数（propositional function ），其表达功能相当于谓词（predicate ），即表示对象的性质。

特别地，一个谓词就是一个命题函数。

反之，任何命题函数都定义一个谓词。

注意，上述一阶语言中，没有个体常元和函数，除了=和∈这两个谓词符号外，没有其它的谓词符号。

因此，用这个语言表达不是很复杂的集合命题时，所需的公式也往往比较长。

为了简化命题表达，我们引入可定义类这个概念。

4. 可定义类定义4.1（可定义类）对于任何集合论公式P (x )，下列表达式称为P (x )所定义的类：{|()}x P x这种由某个公式所定义的类统称可定义类（definable class ），简称类。

一个类若不是集合，则称为真类（proper class ）。

我们将看到，任何集合都是可定义类。

事实上，根据ZFC 公理，对于任何集合x ，我们有{|}x y x y =∈。

根据定义，罗素悖论中的T 是真类。

注意：可以用一阶公式定义的类只有可列多个。

定义4.2（类的名字）若A 是一个不在集合论形式语言中的记号，我们用{|()}A x P x =表示等号右边的类被命名为A 或者等号右边的表达式被简记为A 。

这样符号A 在语义上将等同于类或者表达式{|()}x P x 。

定义4.3（类的成员）若A 是公式P (x )所定义的类，则任何使得P (x )成立的集合称为A 的成员，也记为x A ∈，读作“x 属于A ”。

定义4.4 所有集合组成的类V ={x | x=x }称为全总类（universal class ），它是集合论的论域（universe ）。

4思考：读者可以证明，全总类是真类。

我们将定义关于类的运算、关系和函数等等概念。

这些概念可以简化我们关于集合命题的表达，但是这些概念的这些标的功能都可以被纯粹的但繁琐的集合论一阶公式所取代。

定义4.5 设C ，D 是可定义类。

（1）若C 的成员都是D 的成员，则称C 是D 的子类（subclass ），记为C D ⊆。

（2）并（union ）：{| }C D x x C x D =∈∨∈（3）交（intersection ）：{|}CD x x C x D =∈∧∈ （4）差（difference ）：{|}C D x x C x D -=∈∧∉定义4.6（参考Jech 第7页）设a,b,c 是可定义类。

有序对：(a,b)={{a},{a,b}}3-元组：(a,b,c)=((a,b),c) 请读者写出其枚举表示。

n-元组：请读者写出其定义。

定义4.7（类的乘积）设A ，B 是类。

定义二者乘积如下{(,)|}A B a b a A b B ⨯=∈∧∈这个定义可推广到更多的类之间的乘积，其定义方法显然。

A 自身的n 次乘积称为A 的n 次幂，记为A n 。

定义4.8（类之间的二元关系，参考Jech 第11页）与前面集合之间的二元关系定义相似，略。

定义4.9（函数）设f 是两个类之间的二元关系。

（1） 若对于f 中的每个原像x ，存在唯一的像y ，使得(),x y f ∈，则称f 是函数（function ）。

（2） 通常若y 是x 在函数f 下的像，则称y 是f 在x 处的值，并记为y =f (x )。

任何类X在f 下的像定义为(){|()()}y x f X y x X f =∃∈=5. ZFC 公理系统 ZFC 公理系统包括8个公理和2个公理模式。

公理模式包含无穷多个具有相同模式的公理。

8个公理都可以表达为一个集合论公式，读者可尝试写出它们。

（ZF1） 外延公理：若两个集合x 和y 所含的元素完全相同，则这两个集合相等，记为x =y 。

5根据外延公理，我们有{a,b}={b,a}和 {a,a,b}={a,b}。

练习：请读者试用集合论公式表示外延公理。

（ZF2）空集公理：类={|}x x x ∅≠是集合，称为空集（empty set ）。

根据定义，空集不含任何元素。

再根据定义3.3(1)，空集是任何类的子类。

（ZF3）配对公理：对于任何集合x 和y ，类{x , y }是集合。

（ZF4）子集公理模式：对于任何类A ，若A 是某集合B 的子类，则A 是集合，并称为A 为B 的子集（subset ）。

注意，在子集公理模式中，每个类A 对应着一条子集公理。

因此，子集公理模式是不能用一个公式表达出来的。

子集公理模式也可表述为，对于任何集合A 和命题函数P (x )，可定义集合如下{|()}x x A P x ∈∧为了简化表达，上述定义形式可写为如下形式{|()}x A P x ∈根据空集公理与子集公理模式，空集是任何集合的子集。

（ZF4）并集公理：对于任何集合A ，∪A 是集合，其定义如下：{|( )}A x y y A x y =∃∈∧∈我们把该集合称为A 的（广义）并。

例如，若A ={{1,2},{2,3}}，则∪A ={1,2,3}。