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第三章 欧氏几何的公理化方法
形式主义的公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》
希尔伯特在《几何基础》中先取定三个基本对象：点、 直线和平面； 五个基本关系：两个结合关系，叙述为“点与直线结 合”，“点与平面结合”；一个顺序关系，叙述为 “一点在另两点之间”；两个合同关系，叙述为“线 段与线段合同”、“角与角合同”。 同时逐步地提出五组公理共二十条，它们是：结合公理 （8条）、顺序公理（4条）、合同公理（5条）、连 续公理（2条）、平行公理（1条）。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
但是，只有俄罗斯的罗巴切夫斯 基在1826年发表“虚几何学” 的演讲，但是没有得到承认。 1829年，他把自己的创建发表在 《喀山通报》上。这是世界上 最早的非欧几何文献。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。 欧几里得最重要的科学工作是系统整理了古希腊的几何 学知识，写成《几何原本》，成为人类历史上第一部 完整的公理化的著作。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
《几何原本》的主要内容： 全书共分十三卷，主要内容如下： 第一卷给出全书最初的23个定义、5个公设和5个公理：
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
《辞海》： 公理是“在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为 不需要证明的真理，可以作为证明中的论据”。 公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据 特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个 演绎系统的方法。”
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公理： ⑴等于同量的量是相等的； ⑵等量加等量还是等量； ⑶等量减等量还是等量； ⑷能重合的量是全等的； ⑸整体大于部分。
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》


第二卷讨论线段计算，包括黄金分割定理，共14个命 题。 第三卷主要讨论有关圆的一些理论和有关命题，共有 37个命题。 第四卷讨论圆内接、外切多边形，包括正五边形、正 六边形、正十五边形的作法，共16个命题。 第五卷是《几何原本》中比较精彩的一卷，讲比例理 论。 第六卷讨论相似多边形及比例，共33个命题。
中学数学研究 （几何）
第一讲 几何学的公理化思想方法
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公理化思想方法的内涵和价值 公理法的思想产生的背景


约在公元前7世纪，埃及人的几何知识传入希腊，那 时希腊的经济文化比其它民族要繁荣昌盛得多，几何 学也跟着发展成为一门科学。 古希腊几何学的发展与哲学的发展有着密切的联系。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
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第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何


综上所述，欧几里得的《几何原本》中的公理系统作 为几何学的逻辑推理的基础是不够严密的。应该怎样 修改、补充《几何原本》中的定义、公理才能使几何 学成为逻辑上完美无缺的科学呢？这个问题是两千年 以来的几何学家研究的重要课题，几乎从《几何原本》 写成之日就开始了。 数学家从两方面进行研究，一方面是增加或改换公理， 另一方面是试证第五公设，前者促进了几何基础的严 密化，后者导致了非欧几何的诞生。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》



第七、八、九三卷是数论。 第十卷讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有 关的几何运算，共117个命题。 第十一、十二、十三卷讨论立体几何。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
欧几里得是第一个试图建立几何学基础（即提出一些定 义和少数公设、公理作为后面逻辑推理的依据和出发 点）的数学家。 不过，由于历史的局限性，《几何原本》并没有彻底解 决建立几何基础的问题，《几何原本》的逻辑体系不 是严密的。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
公设： ⑴从每个点到每个其他的点必定可以 引直线； ⑵每条直线都可以无限延长； ⑶以任意点作中心，通过任何给定的 另一点，可以作一圆； ⑷所有直角都相等； ⑸同平面内如有一条直线与另两条直 线相交，且在前一条直线的某一 侧所交的两内角之和小于两直角， 则后两条直线无限延长后必在这 一侧相交。
公理化思想方法的内涵和价值 公理法的思想产生的背景


逻辑学的创始人亚里士多德曾经指 出： 任何一种严密的科学体系的形成， 都是从一些不能证明的原理开始的， 不然所需要的证明将要无止境地继 续下去，形成无穷尽的步骤。至于 不能证明的原理，可分成两类：一 类是一切科学共有的原理；另一类 是某一门科学特有的原理。
第五 公设问 题
非欧 几何的 产生
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程



欧氏几何公理化思想方法对推动数学发展有着重要意 义。 公理化思想方法在数学教学和学习中也有着重要的意 义。 公理化方法丰富了科学方法论的内容。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
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第三章 欧氏几何的公理化方法
形式主义的公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》
所以，尽管希尔伯特几何公理系统从字面上看没有离开 几何实体，但从本质上讲，却为现代形式化公理系统 奠定了基础，这也正是它被称为公理化方法发展史上 一个里程碑的根本原因所在，这种思想方法也称之为 形式化公理思想方法（近代公理法）。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
19世纪中叶，非欧几何诞生的时 机终于成熟了。首先是大数学 家高斯发现了第五公设的否定 命题和其它公理是协调的，即 无矛盾的。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
匈牙利的大学生J· 波尔约也独立地在1832年发现了非欧 几何。


后来欧多克斯还用穷竭法处理具有无限性的推理过程， 把比值为有理数的结论都推广到无理数。 近代则采取更加严密的数理逻辑方法。因此，演绎推 理的规则在不断发展，与时俱进。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
近代的公理化方法，要求公理的选取必须符合以下的三 条要求： ⑴相容性（或称为协调性，无矛盾性）； ⑵独立性； ⑶完备性。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 欧氏几何的公理化方法
结构主义的公理化时期 ——布尔巴基的《数学原本》


当然，公理化方法也是有其局限性的。 例如，它主要用于“回顾”性的“总结”，对“探索” 性的“展望”作用较少；对每一个数学分支都要按照 公理化三条标准去实现公理化也是不可能的；只能运 用到一个发展成熟的数学分支，对不成熟的分支的发 展可能有束缚作用等等。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
把17-19世纪人们对公理化方法的研究称为“思辨性” 的时期，这是因为这是的公理化虽然仍旧保持了一定 的直观成分，还使用点、线、面这样的几何形象，但 是已经进入到理性思辨的领域，罗氏几何中的点、线， 以及它们之间的关系，需要通过思辨才能理解。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
形式主义的公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》


古希腊时代的推理，就是依据亚里士多德创立的形式 逻辑规则（三段论等）进行演绎。 三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得 出一个新的性质判断为结论的演绎推理。
中项M
大学生都是应该认真学习的
小项S
13数本班同学都是大学生
大项P
13数本班同学都是应该认真学习的
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
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第三章 欧氏几何的公理化方法
证明：任何三角形都是等腰三角形
When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth.




角A平分线与BC垂直平分线交于O点，过O做两边的 垂线OM,ON. AMO全等于ANO(角角边)->OM=ON,AM=AN OB=OC,OM=ON,两个直角相等->BMO全等于ONC( 边边角在直角三角形是成立的)->BM=NC>AM+MB=AN+NC 故AB=AC
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理法的思想及其结构
公理法的结构由下列四部分构成： ⑴原始概念的列举； ⑵定义的叙述； ⑶公理的叙述； 核 心 ⑷定理的叙述和证明。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
公理化方法的发展，经历了以下四个时期： 1.直观性公理化时期，以欧几里得的几何《原本》为代 表； 2.思辨性公理化时期，以非欧几何的发现为代表； 3.形式主义公理化时期，以希尔伯特的《几何基础》为 代表； 4.结构主义公理化时期，以布尔巴基的《数学原本》为 代表。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
几何 起源 加工 整理中 希腊 人的工 作 （公理 法萌芽 ）
欧几 里得几 何《原本 》 （古典 公理法 ）
对几 何《原本 》的 公理 进行改 造和 补充 希尔 伯特的 《几何 基础》 （近代 公理法 ）
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第三章 欧氏几何的公理化方法
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