µ
−n x −µ ⎧ ⎪ne ( ) , x ≥ µ , 易知 f X (1) ( xi , µ ) = ⎨ 其他。 ⎪ ⎩ 0, ∞ 1 ˆ1 = EX (1) = ∫ xf X (1) ( xi , µ ) dx = µ + ，即 µ ˆ1 是 µ 的有偏估计。 所以 E µ −∞ n
x
1 * ˆ1 ˆ1 − 是 µ 的无偏估计。 µ =µ n ˆ 2 = X − 1 是 µ 的矩估计量且为无偏估计。 (2) EX = xe −( x − µ ) dx = µ + 1 ，则 µ ∫
n
{
}
ˆ D θ 1
ε2
( ) =1− θ
2
8n
ˆ 为 θ 的相合估计。 → 1 ，故 θ 1
(2) L (θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) =
i =1
2n n ∏ xi θ 2n i =1
易知 L (θ ) 为 θ 的单调递减函数，故 θ 取最小值时， L (θ ) 取最大值。 ˆ = X = max { X ,⋯ , X } 为 θ 的极大似然估计。 又 θ 不小于 max { X 1 ,⋯ , X n } ，故 θ 2 1 n ( n) ⎧ 2n 2 n −1 x , 0 ≤ x <θ, ⎪ f X ( n) ( x,θ ) = ⎨θ 2n ⎪ 0, 其他。 ⎩ ˆ = EX = 2n θ ，故 θ ˆ 为 θ 的有偏估计。 故 Eθ 2 2 ( n) 2n + 1
i =1
，
所以 θ 的极大似然估计为 −
n
n
−1 。
i
∑ ln x
i =1
1
ˆ = 2 ln X 为 θ 的矩估计量。 (2) EX = ∫ xf ( x,θ ) dx = e ，令 e = X 得 θ
0
n
θ 2
ˆ θ 2
L (θ , λ ) = ∏ f ( xi ,θ ) =
i =1
n
1
( 2πθ )
n n 2 i =1
e
−
( ln xi ) ∑ i =1
2θ
2
，
∏ xi
n
n l (θ , λ ) = ln L (θ , λ ) = − ln ( 2πθ ) − ∑ ln xi − 2 i =1
n
n
∑ ( ln x )
i i =1
2
2θ
令
∂l (θ ) n =− + ∂θ 2θ
2 0
∑ ( ln x )
0 2
θ
2x 2θ ˆ = 3 X 为 θ 的矩估计量，且为无偏估计。 ，故 θ dx = 1 2 θ 3 2
2
DX = EX − ( EX ) = ∫
θ
0
2 2x ⎛ 2θ ⎞ θ x 2 dx − ⎜ ⎟ = θ ⎝ 3 ⎠ 18 2
2
9 9 θ2 ˆ Dθ1 = DX = DX = 4 4n 8n ˆ − µ < ε ≥1− 故P θ 1
L (θ , λ ) = P { X 1 = X 4 = X 5 = 0, X 2 = X 6 = X 8 = 2, X 3 = X 7 = 1} = θ 3λ 2 (1 − θ − λ ) ， l (θ , λ ) = ln L (θ , λ ) = 3ln θ + 2 ln λ + 3ln (1 − θ − λ ) ，
( n − 1) S 2
σ2
∼ χ 2 ( n − 1) ， D ( S 2 ) =
2σ 4 n −1
2 故 D ( S12 ) = 2σ 4 ， D ( S 2 2 ) = σ 4 ， D ( S3 2 ) = σ 4 3 ⎛ b2 c2 ⎞ 2 2 故 DT = a 2 DS12 + b 2 DS 2 + c 2 DS3 = ⎜ a 2 + + ⎟ 2σ 4 2 3⎠ ⎝ 要使 T 为最有效估计，只须使 a 2 +
i =1
，
l ( µ ) = ln L ( µ ) = −∑ X i + nµ ，
i =1
l ( µ ) 为 µ 的单调递增函数，故 µ 取最大值时 l ( µ ) 取最大值。
ˆ1 = X (1) = min { X1 ,⋯ , X n } 为 µ 的极大似然估计。 又 µ 不大于 min { X 1 , ⋯ , X n } ，故 µ 因 F ( x, µ ) = ∫ e−( t − µ ) dt = 1 − e−( x −µ )
2n 2 n 2n x dx = θ 2 n 0 θ 2n + 1 ˆ = EX = 2n θ 故 θ ˆ 为 θ 的有偏估计。 即 Eθ 2 2 ( n) 2n + 1 故 EX ( n) = ∫
θ
n
14(1) L ( µ ) = ∏ f ( xi , µ ) = e
i =1 n
n
−
∑( Xi −µ )
b2 c 2 + 在 a + b + c = 1的条件下取最小值即可。 2 3
令
L = a2 +
b2 c2 + − λ ( a + b + c − 1) 2 3
⎧ ∂L ⎪ ∂a = 2a − λ = 0, ⎧a = 1 , ⎪ ⎪ 6 ⎪ ∂ L ⎪ = b − λ = 0, 1 ⎪ ⎪ 由 ⎨ ∂b 得 ⎨b = , 即为所求。 3 ⎪ ∂L 2c ⎪ = − λ = 0, 1 ⎪ ⎪ ⎪ ∂c 3 ⎪c = 2 . ⎩ ⎪ ⎩ a + b + c = 1. ⎧ 2x ⎪ , 0 ≤ x <θ, 12 f ( x,θ ) = ⎨θ 2 ，θ > 0 ， ⎪ 其他。 ⎩ 0,
−∞ ∞
var X = EX 2 = 2θ 2 ，
n n ˆ 2 = 1 ( X − X )2 = 1 X 2 和 θ > 0 得 由 2θ ∑ i ∑ i n i =1 n i =1
n
ˆ= θ
∑X
i =1
2
i
2n
为 θ 的矩估计量。
n
⎧ ∑ Xi ⎪ n ⎪ 1 − i=1θ , −∞ < x < ∞, L (θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) = ⎨ n n e i =1 θ 2 ⎪ 0, 其他。 ⎪ ⎩ 则 1 n ⎧ − n ln 2 − n ln θ − ⎪ ∑ xi , −∞ < x < ∞, l (θ ) = ln L (θ ) = ⎨ θ i =1 ⎪ 0, 其他。 ⎩
1
(100 − θ )
，因 0 < θ < 100 ，要使 L (θ ) 最大，则 θ 应取最大。
ˆ 又 θ 不能大于 min { x1 , ⋯ , xn } ，故 θ 的极大似然估计为 θ = min { X 1 ,⋯ , X n } (5) EX = ∫ xf ( x , θ ) dx = 0 ，故 X = 0 。
ˆ − µ < ε ≥1− (4)由切比雪夫不等式知， ∀ε > 0 ， P µ
* 1
{
}
* ˆ1 D (µ )
ε
2
= 1−
1 →1 n ε2
2
ˆ2 − µ < ε } ≥ 1 − P{ µ
ˆ2 ) D (µ 1 = 1 − 2 →1 2 ε nε
* ˆ1 ˆ 2 为 µ 的相合估计。 故µ 与µ
16(1) EX = ∫ x
⎧ ∂l (θ , λ ) 3 3 = − = 0, ⎧ˆ 3 ⎪ θ= , ⎪ ∂θ θ 1−θ − λ ⎪ ⎪ 8 即为所求。 ⎨ 解得 ⎨ 3 ⎪ ∂l (θ , λ ) = 2 − = 0. ˆ = 1. ⎪λ ⎪ ∂λ ⎩ λ 1− θ − λ ⎪ ⎩ 4 6 解：(1) EX = ∫ x (θ + 1) xθ dx =
k=
则
1 2 ( n − 1) 即为所求。
2 10(1)依题， X i ， Y j 与 Z l 相互独立， ET = aES12 + bES 2 + cES 32 = ( a + b + c ) σ 2
故 T 是 σ 2 的无偏估计的充要条件为 a + b + c = 1 (2)记 n 个样本的方差为 S 2 ，则
n
xi n ∂l (θ ) n ∑ i =1 ˆ = 1 ∑ x 为 θ 的极大似然估计。 令 = − + 2 = 0 得θ i ∂θ θ θ n i =1
8(1) µ = X ， E 1 n 1 n 1 n 2 2 X − µ = E X − µ = EX i 2 − 2µ EX i + µ 2 ) = σ 2 ( ) ( ) ( ∑ ∑ ∑ i i n i =1 n i =1 n i =1
注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__偶数.doc
4 解：矩估计：
µ1 = 0 ⋅θ + 1 ⋅ λ + 2 ⋅ (1 − θ − λ ) = 2 − 2θ − λ ， ν 2 = ( 2 − 2θ − λ ) θ + ( 2θ + λ − 1) λ + ( 2θ + λ ) (1 − θ − λ ) , A1 = 1 , B2 =
i i =1
2
2θ 2
ˆ = 1 ∑ ( ln x )2 为 θ 的极大似然估计。 = 0 得θ i n i =1
n
(3) EX = ∫ xf ( x ,θ ) dx = 令
2θ ， θ +1
ˆ 2θ ˆ = X 为 θ 的矩估计量。 = X 得θ ˆ 2− X θ +1
n
n ⎧θ n 2− nθ ∏ xiθ −1 , 0 < x < 2, ⎪ L (θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) = ⎨ i =1 i =1 ⎪ 0, 其他。 ⎩ n ⎧ n ln θ − n θ ln 2 + θ − 1 ln xi , 0 < x < 2, ( ) ⎪ ∑ l (θ ) = ln L (θ ) = ⎨ i =1 ⎪ 0, 其他。 ⎩ n ∂l (θ ) n ˆ= = − n ln 2 + ∑ ln xi = 0 得， θ ∂θ θ i =1