高中数学:排列与组合练习1．(昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法(D) A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法．2．(广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有(B)A．36种B．24种C．22种D．20种解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有A33A22＝12种推荐方法；第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法,选B.3．(广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(C)A．480种B．360种C．240种D．120种解析:根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A44＝24种情况,则不同放法有10×24＝240种．故选C.4．某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(C)A．16 B．18C．24 D．32解析:将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有A33＝6(种)排法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4×6＝24(种)方法．5．(河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人．其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为(B)A．8 B．7C．6 D．5解析:根据题意,分2种情况讨论:①乙和甲一起去A社区,此时将丙丁二人安排到B、C社区即可,有A22＝2种情况,②乙不去A社区,则乙必须去C社区,若丙丁都去B社区,有1种情况,若丙丁中有1人去B社区,则先在丙丁中选出1人,安排到B社区,剩下1人安排到A或C社区,有2×2＝4种情况,则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种,故选B.6．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有(B)A．1 108种B．1 008种C．960种D．504种解析:将丙、丁两人进行捆绑,看成一人．将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头,有A22A55种排法；乙排在排尾,有A22A55种排法；甲排在排头,乙排在排尾,有A22A44种排法．则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种)．7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(C)A．24对B．30对C．48对D．60对解析:利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48对,故选C.8．(河南豫北名校联考)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(B)A．18种B．24种C．48种D．36种解析:由题意,有两类:第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个,有C23＝3种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生,有C12C12＝4种,故有3×4＝12种．第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,有C13＝3种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人,有C12C12＝4种,这时共有3×4＝12种,根据分类计数原理得,共有12＋12＝24种不同的乘车方式,故选B.9．(洛阳统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有36种(用数字作答)．解析:解法一第一步,选2名同学报名某个社团,有C23·C14＝12种报法；第二步,从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学,有C13·C11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．解法二第一步,将3名同学分成两组,一组1人,一组2人,共C23种方法；第二步,从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名,共A24种方法．由分步乘法计数原理得共有C23·A24＝36种报法．10．(豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生,3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生,外科医生和护士,则不同的分配方案有36种．解析:2名内科医生的分法为A22,3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23,共有A22(C23C13＋C13C23)＝36(种)不同的分法．11．(衡水模拟)某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则共有114种不同的安排方法．(用数字作答)解析:5个人住3个房间,每个房间至少住1人, 则有(3,1,1)和(2,2,1)两种,当为(3,1,1)时,有C35·A33＝60(种),A,B住同一房间有C13·A33＝18(种),共有60－18＝42(种),当为(2,2,1)时,有C25·C23A22·A33＝90(种),A,B住同一房间有C23·A33＝18(种),故有90－18＝72(种),根据分类加法计数原理可知,共有42＋72＝114(种)．12．(上海崇明一模)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人志愿者服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有780种不同的选法．解析:要求服务队中至少有1名女生,则分3种情况讨论:①选出志愿者服务队的4人中有1名女生,有C35C13＝30种选法,这4人选2人作为队长和副队长有A24＝12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有30×12＝360种不同的选法．②选出志愿者服务队的4人中有2名女生,有C25C23＝30种选法,这4人选2人作为队长和副队长有A24＝12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有30×12＝360种不同的选法．③选出志愿者服务队的4人中有3名女生,有C15C33＝5种选法,这4人选2人作为队长和副队长有A24＝12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有5×12＝60种不同的选法．则一共有360＋360＋60＝780种不同的选法．13．(南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(A)A．120种B．156种C．188种D．240种解析:解法一记演出顺序为1～6号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法种数分别为A22A33,A22A33,C12A22A33,C13A22A33,C13A22A33,故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．解法二记演出顺序为1～6号,按甲的编排进行分类,①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则有C14A22A33＝48(种)；②当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有C13A22A33＝36(种)；③当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有C13A22A33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．14．(山西长治模拟)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i＝1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(C)A．22种B．24种C．25种D．36种解析:由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4,共有6种组合,前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A33＝6种结果,3,3,6和5,5,2各可以排出A33A22＝3种结果,4,4,4只可以排出1种结果．根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1＝25种结果,故选C.15．(天津和平一模)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则不同的放法种数为(C)A．35 B．70C．165 D．1 860解析:根据题意,分4种情况讨论:①没有空盒,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选3个,插入隔板,将小球分成4组,顺次对应4个盒子,有C37＝35种放法；②有1个空盒,在4个盒中任选3个,放入小球,有C34＝4种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选2个,插入隔板,将小球分成3组,顺次对应3个盒子,有C27＝21种分组方法,则有4×21＝84种放法；③有2个空盒,在4个盒中任选2个,放入小球,有C24＝6种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选1个,插入隔板,将小球分成2组,顺次对应2个盒子,有C17＝7种分组方法,则有6×7＝42种放法；④有3个空盒,即将8个小球全部放进1个盒子,有4种放法．故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．故选C.16．(洛阳预测)设三位数n＝abc,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有165个．解析:a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0,即a,b,c∈(1,2,3,…,9)．①若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为n1,由于三位数中三个数字都相同,所以n1＝C19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为n2,由于三位数中只有2个不同数字,设为a,b,注意到三角形腰与底可以互换,所以可取的数组(a,b)共有2C29组,但当大数为底时,设a>b,必须满足b<a<2b,此时,不能构成三角形的数字是共20种情况．同时,每个数组(a,b)中的两个数字填上三个数位,有C23种情况,故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上,n＝n1＋n2＝165.。