12
——平面力系平衡方程
工程力学
• 应用举例
解：取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
FA
FB
列平衡方程如下：
F 0 M B F 0
FA FB P P1 P2 P3 0 P1 2 P(2.5 3 ) P2 2.5 FA (1.8 2 ) 0
FA
1 3.8
2P1
3．根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三 个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和 矩心，以使方程中未知量最少。
4．求解。校核和讨论计算结果。
11
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例1：一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸 臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在 图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。
Fx 0 Fy 0
M C 0
FAx FCx 0
FAy FCy P 0
FAx
a
FAy
a
27
——刚体系统的平衡
求解方法二
FCy′ FCx′
工程力学
（1）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。
FBx
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0
M C 0
FBx FCx Q 0
19
工程力学
——刚体系统的平衡
注意！ 对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取
系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统 其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在 该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外力、 内力是相对的。
20
工程力学
——刚体系统的平衡
系统平衡的特点：
自然满足。
则平面汇交力系平衡方程为
工程力学
只有两个方程，可解两个未知量。
思考：是否还有其它的形式？
9
工程力学
——平面力系平衡方程 • 平面力偶系的平衡方程
显然，关于力平衡的方程自然满足。
M 0
只有一个方程，可解一个未知量。
10
工程力学
——平面力系平衡方程 • 平面任意力系平衡方程
求解步骤：
1．根据问题条件和要求，选取研究对象。 2．分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对 象所受的全部主动力和约束力。
平衡方程其他形式
二矩式
M A (F) 0 M B (F) 0 Fx 0
x轴不得垂直于A、B的连线。
工程力学
（1）若力系已满足了 M A (F，i )则表0 明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线
通过A点的一个合力，或者是平衡。
（2）若该力系同时满足 M B (F，i )则 该0 力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的
P
34
工程力学
——刚体系统的平衡
解：取整体为研究对象。受力分析 如图。
P 列平衡方程
MC F 0,
5r P 2r FAx 0 解得 FAx 2.5P
P
FAy FAx
FCy FCx
35
——刚体系统的平衡
再取杆AB为研究对象，受力分析如图。
工程力学
FE
FBy
FBx
P
FAy FAx
列平衡方程
必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 FR , M O 有
一个不为零，即
FR 0 , MO 0 或 FR 0 , MO 0
根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或 一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有FR , M O 均为零，原力系才能平衡。
4
工程力学
解：该系统中，BC为二力杆。
第一种情
以AB为研究对象，作出受力
形l
l
FP
图 MA ( F ) = 0 :
A
B
l
C
FBC d - FP 2l = 0
Fy = 0 :
FBC 2 2FP
FAy
FAx A
l
l FP
d
B
FBC
FAy - FP + FBC sin45 = 0
Fx = 0 :
FAy= - FP
14
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
解： (1).取制动蹬ABD作为研究对 象，画出受力图。
应用三力平衡汇交的条件得到 (2) 列平衡方程
Fx 0， FB F cos q FD cos 0 Fy 0， FD sin F sin q 0
y
AF
F
Oq
B
x
B
FD D
已知 sin DE 1
24
——刚体系统的平衡
工程力学
解：(1)考虑整体,受力如图所示，
列平衡方程如下：
FAx
FBx
Fx 0 FAx FBx Q 0
FAy
M
A
0
FBy
2a
Q
1 2
a
P
1 2
a
0
MB
0
FAy
2a
P
3 2
a
Q
1 2
a
0
(2)考虑左半部，受力分析如图
FBy
FCy
FCx
MC
0
FAx
a
P1 2
a
FAy
a
0
这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！
4个方程，4个未知量，可解。 25
——刚体系统的平衡
FAx
1 4
(P
Q),
FAy
3 4
P
1 4
Q
FBx
1 4
(3Q
P),
FBy
1 4
(P
Q)
工程力学
26
工程力学
——刚体系统的平衡
求解方法二
（1）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。
列平衡方程：
此处，把分布力简化成 集中力Q，作用在D点
FAx
D
FAy
FB
AD a
17
——平面力系平衡方程
• 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
(2) 列平衡方程
Q
工程力学
Fx Fy
0 0
M A(F ) 0
FAx
D
FAy
FB
FAx FAy
0 FB
P
Q
以BC杆为研究对象，从铰链B 处把BC取出来，则BC杆必然受 到铰链的作用力，如图：
把分布力化为集中力P，P=ql，作
用在G处。得到BC杆的受力图：
G
工程力学
BG l 2
列平衡方程
MFAxA
3ql 0
2
M
MB 0
FCy
2l
P( l 2
l) M
0
解得
FAy
7 4
ql
M 2l
FCy
1 4
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
平衡方程基本形式
平衡条件的矢量式： FR 0 , MO 0
平衡条件的解析式：
Fx 0 Fy 0
有三个方程，可解 三个未知量。
MO (F) 0
上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平
衡方程的基本方程。
5
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
——刚体系统的平衡
例三 已知：四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求: 机 构平衡时P、Q 的关系。
32
工程力学
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力分 析如图所示。
AD、BC均为二力杆 列平衡方程
33
工程力学
——刚体系统的平衡
例四 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳 子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计， 试求B处的约束力。
工程力学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
1
工程力学
平面力系平衡方程 刚体系统的平衡 静定、静不定问题
作业题
2
工程力学
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程 平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力
和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
21
——刚体系统的平衡
分析方法：
求解刚体系统的平衡问题，主要依据前 面给出的平衡理论。
整体
局部
工程力学
先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方 程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选 择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量为止。
以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，
2.5P2
5.5P
不翻倒的条件是：FA≥0。
因此，得到
P
1 5.5
2
P1
2.5P2
7.5 kN
13
工程力学
——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例2：如图所示是汽车制动 机构的一部分。已知司机踩 到制动蹬上的力F=212 N，θ = 45。当平衡时，DA铅直， BC水平，试求拉杆BC所受 的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰 链，机构的自重不计。
37
——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力如图：
Q
FAx MA
M
工程力学
FAy
FC
分布力化成了集中力Q，且Q=2ql，作用在B点。