a12
...
a1i a2 j ... aij ... anj
... ... ...
a 22 x1n ... ... ... x 2n ... ... ... xm n...
yij
...
x
an 2
x
... ...
... m
a1n a2n ij ... ain ... ann
w
i 1
n
ij
1, wij 0, (i 1,2,, n; j 1,2,, L)
权数方案表如下：其中
指标 老手
G1 G2

L
均值
1
w1 1w2 1 wn 1 w1 Lw2 L wn L

Gn
w1w2 wn
D1 D2
方差

Dn
wi ( wij ) / L,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(i 1,2,, n)
2. 环比法
先把指标随意排序，按照顺序逐个 比较两个指标的重要性，得出环比比率， 再通过连乘把环比比率换算为以最后一 个指标为基数的定基比率，最后归一化 为权数。例如，有A、B、C、D、E五个 指标，按照此顺序求其权数。
指标 A B C
按环比计算的 重要性比率 2.0 0.5 3.0 1.5
指标
正向 指标 逆向 指标
很低 1 9
低
一般 5
5
高 7 3
很高
9 1
3
7
最大速度 （马赫）
A B C D
2.0 2.5
最大范围 最大负载 费用 6 （ 10 可靠性 （公里） （千克） 美元） 1500 一般 5.5 20000 2700 2000 1800 18000 21000 20000 6.5 低 高 一般
5.5 6.5 4.5 5.0
5 3 7 5
9 5 7 5
）
1 0.56 0.78 0.56
用线性比例变换法Y为
（
0.8 1 0.72 0.88
0.56 1 0.74 0.67
0.95 0.86 1 0.95
0.82 0.69 1 0.9
0.71 0.43 1 0.71
）
用极差变换法Y为
（
0.28 1 0 0.57
效益型（正向）指标（越大越好）
成本型（逆向）指标（越小越好）。
an 2
...
anj
...
a2n ... ain ... ann
1n
1 向量归一化法 在决策矩阵中,令
x11 x 21 A xm1
a11 a 21 x12 x 22 ... ai1 xm 2 ... an1
3 极差变换法 在决策矩阵X中，对于正向指标，取
yij
xij min xij
1i m 1i m
max xij min xij
1i m
, (1 i m,1 j n)
对于逆向指标，取
yij
max xij xij
1i m 1i m
max xij min xij
1i m
, (1 i m,1 j n)
经过极差变换后，指标值均在0~1之间，正、逆向 指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。
4 标准样本变换法 在决策矩阵X中，取
yij
1 m xij xij m i 1 1 m 1 m 2 ( xij xij ) m 1 i 1 m i 1
, (1 i m,1 j n)
经过标准样本变换后，标准化矩阵每列的样本均 值为0，方差为1。
5 平均值法
一组数x1 ,x 2 ,x 3 ,......,x n ,其平均值为x， 则各数的平均值法得到的标准化值为x1 /x，x 2 /x， ......
6 定性指标量化处理方法
可以最优值为10分，最劣值为0分,其余相 应给分如下：
2 线性比例变换法 在决策矩阵X中，对于正向指标，取
yij
xij
max xij
1i m
, (1 i m,1 j n)
对于逆向指标，取
yij 1i m xij
min xij
, (1 i m,1 j n)
经过线性变换后，指标值均在0~1之间，正、逆向 指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。
0 1 0.42 0.52
0.67 0 1 0.67
0.5 0 1 0.75
0.51 0 1 0.5
）
1 0 0.5 0
当多个指标的重要程度不同时，以权数表示各个 指标的重要程度 1 老手法（专家咨询法） 选L个有经验的老手(专家) ，独立对n个指标给 出权数。 设第j 位老手提出的权数方案为
w1 j, w2 j,, wnj, ( j 1,2,, L)
a 21 ... A ai1 ... an1
将不同量纲通过变换，变为无量纲的标准 化指标。 a a ... a ... a
11 12 1i
a 22 ... ...
... ...
a2 j ...
ij
... ...
... a ... 指标一般分为两类： ... ... ... ...
灵敏度
很高
一般 高 一般
1.8
2.2
4.5
5.0
解：前三个指标是正向指标，第四个指标是逆向 指标，第五、六指标是定性指标。先将第五、六指标 量化，写出决策矩阵，再分别用前三种方法归一化。
（
2.0 2.5 1.8 2.2
1500 2700 2000 1800
20000 18000 21000 20000
j 1 L
L
Di [ ( wij wi ) ] /( L 1), (i 1,2,, n )
2 j1
若方差中最大的不超过允许误差e，说明各个老 手提供的权数没有显著差别，以均值作为各个指标 的权数，否则和方差大的老手协商调整权数，重复 上述过程。 或更简单一些直接用wij与wi之差的绝对值代替方差。
x11 x12 x 21 x 22 xij xm1 xm2
x1n x 2n xm n
, (1 ix m,1 j n)
11
2
i 1
ij
称矩阵 Y ( yij ) 为向量归一标准化矩阵，其列向量 模等于1，而且指标值均满足在0~1之间。并且正、逆 向方向没变。