1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。

证明:
S 为R 的一个子环, ∴0∈S ,
而0=(0)φ∈S , 故S 非空。

对,a b ∀∈S ,∃,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ
由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。

2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。

证明: S 为R 的子环, ∴0∈S ,
而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。

对∀,a b ∈S ，∃,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，
故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈
∴a b S -∈,ab S ∈
故S 是R 的一个子环。

3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。

证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。

对,a b A ∀∈,r R ∀∈, ∃,a b ∈A ,r R ∈
使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ=
由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈
∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。

4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。

证明: A 为环R 的理想,∴0∈A ,
而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。

对于∀,a b ∈A ，∀r R ∈，∃,a b ∈A ,r R ∈
使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，
故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。

a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈
r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈
∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。