《近世代数》作业
一.概念解释
1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想
7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元
二.判断题
1.Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。
2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。
4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。
5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是:
1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。
7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1
-Φ是A 与A 间的一一映射。
8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。
9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。
10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。
11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。
12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
( )
14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ⋃也为G 的子群。
( )
15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
( )
三.证明题
1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
2.设G=(a )是循环群,证明:当∞=a 时,G=(a )与整数加群同构。
3.证明:高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ,i ±。
4.设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a 证明:G 对方阵的普通乘法作成一个交换群,并给出乘法表。
5.证明:在群G 中只有单位元满足方程x x =2。
6.证明:在整环Z[i]中5有唯一分解,并给出5的一种分解。
7.令G={}b a e ,,,且G 有如下乘法:
e a b
e e a b
a a
b e
b b e a
证明:G 对此乘法作成一个群。
8.设R 是一个环,证明:
1)若R 中左右单位元同时存在,则必相等。
2)若R 中至少有两个左(或右)单位元,则R 中任一非零元都是右(或左)零因子。
9.设M (R )是实数域R 上的二阶方阵环,又
F=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R b a b b b a ,,证明:F 是M (R )的一个子域。
10.设u是群G的任意一个固定的元素,证明:集合G对新运算b au b a 1-= 作成一个群。
11.设R是有单位元I的交换环,)(R M n 是R 上n 阶方阵环,)(,R M B A n ∈,证明:
E BA E AB =⇔=,其中E 是n 阶单位矩阵。
12.设A 和B 是环R 的理想,证明:当A 和B 至少有一个含有单位元时,},|{B b A a ab B A ∈∈= 是R 的理想。
13.设3S 是三次对称群,)}12(),1{(=H 是3S 的子群。
1. 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。
2.求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集;
3. 写出3S 的所有子群与正规子群。
14.设5,S ∈τσ,其中)45)(123(=σ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=2314554321τ。
1.求σ的周期;
2. 将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。
15. 假定~是群G 的元间的一个等价关系,并且对于G
的任意三个元y x a ,,来说,有ax ~x ay ⇒~y 。
证明:与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。
16. 假定][x R 是整数环R 上的一元多项式环。
1. 写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.
2. 证明: ),2(x 不是][x R 主理想.
3. 证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是][x R 的一个主理想.
17.证明:6阶群至少有一个3阶子群。
18.设ϕ是群G 到群-G 的一个同态满射,ϕKer K =,G H ≤,则HK H =-))((1ϕϕ
19.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,即高斯整环,
1.环)1/(i R +有多少元? 2. 证明: )1/(i R +是一个域.
四.解答题 1.{
}1003,2,1 =A ,找一个A A ⨯的一个满射。
2.设H 是G 的一个非空子集,且H H =2
1)H 是否为G 的一个子群?
2)证明:当H 有限时,H 是G 的子群。
3.设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合,问:R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成环或域?
4.设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合,问:
A A →Φ: (A 为A 的行列式)是否是X 到F 的一个一一映射?说明理由。
5.试举出满足以下条件的群:
1)G 是无限群,除单位元外,每个元素的阶都无限。
2)G 是无限群,G 中除单位元外,既有有限阶元素,也有无限阶元素。
6.非零实数集R ,对运算ab b a 2= 能否作成群,并说明理由。
7.试给出集合X={1,2,3,4,5}到Y={0,2,4,6,8}的两个单射。
8.设Z[i]是高斯整环,即Z[i]={a+bi| a,b ∈Z},其中Z 是整数环,问商环
>
+<i i Z 1][有多少元素? 9.问:域和其子域是否有相同的单位元,并说明理由。
10.试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
11.设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求G 中下列各元素的阶: ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1110,0110b a , ab. 12.设R 是环,且N 是R 的理想,H 又是N 的理想,问:H 是否一定是R 的理想,举例说明。
13.设9次置换⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=249816735987654321σ, 1.将σ表成互不相交的轮换乘积;
2. 将σ表示成形式为对换的乘积;
3.求出σ的逆与σ的阶。
五、单项选择题
1. 如果C A B A C A B A ==,, 则( )。
A.C B ⊂
B. C B ⊃
C. C B =
D. C B ≠
2. 设},,{},3,2,1{c b a B A ==,则A 到B 的映射个数有( )。
A. 9
B. 6
C. 12
D. 27
3. 指出下列那个运算是二元运算( )。
A .在整数集Z 上,ab
b a b a += B. 在有理数集Q 上,ab b a =
C.在正实数集+R 上,b a b a ln =
D.在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=
4. 下面是交换半群,但不是群的是( )。
A. ),(+N
B. ),(+Q
C. ),(*+Z , 其中是非零整数集合
D. ),(+C
5. 设e 是群G 的单位元,b a ,是G 的两个元素,则( )。
A. 111)(---=b a ab
B. 222)(---=b a ab
C. 若e a =2,则1-=a a
D.ba ab =
6.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 以下命题中,正确的是( )。
A. 任意一个环R ,必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元,则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同。