＝﹣3×12+3×2×1×cos120° ＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
∴cos∠OMN＝
＝
＝，
∴ • ＝| |×| |cos（π﹣∠OMN）＝3 ×1×（﹣ ）＝﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形 OMAN 是平行四边形， 由 OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°， ＝2 ， ＝2 ，
知 ＝ ﹣ ＝3 ﹣3 ＝﹣3 +3 ，
∴
＝（﹣3 +3 ）•
＝﹣3 +3 •
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．
三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13 分）（2018•天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，
160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
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2018 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2018•天津）设集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x
＜2}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{﹣1，1}
象对应的函数（ ）
A．在区间[
]上单调递增
B．在区间[﹣ ，0]上单调递减
C．在区间[
]上单调递增
D．在区间[ ，π]上单调递减 【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合 y＝Asin（ωx+φ）型函数的 单调性得答案． 【解答】解：将函数 y＝sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为 y＝sin[2（x﹣ ）+ ]＝sin2x．
B．﹣9
C．﹣6
【分析】解法Ⅰ，由题意判断 BC∥MN，且 BC＝3MN，
D．0
再利用余弦定理求出 MN 和∠OMN 的余弦值，计算 • 即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形 OMAN 是平行四边形，
由题意求得
的值．
【解答】解：解法Ⅰ，由题意， ＝2 ， ＝2 ， ∴ ＝ ＝2，∴BC∥MN，且 BC＝3MN， 又 MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（﹣ ）＝7， ∴MN＝ ； ∴BC＝3 ，
也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．
3．（5 分）（2018•天津）设 x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由 x3＞8 得到|x|＞2，由|x|＞2 不一定得到 x3＞8，然后结合查充分条件、必要条
．
12．（5 分）（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆
的方程为
．
13．（5 分）（2018•天津）已知 a，b∈R，且 a﹣3b+6＝0，则 2a+ 的最小值为
．
14．（5 分）（2018•天津）已知 a∈R，函数 f（x）＝
．若对任意 x∈[﹣
3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则 a 的取值范围是
解得 A（2，3）．
当目标函数 z＝3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大， z 取得最大值． 将其代入得 z 的值为 21， 故选：C．
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【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行
域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
输出 T 的值为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
5．（5 分）（2018•天津）已知 a＝
，b＝
，c＝
，则 a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
6．（5 分）（2018•天津）将函数 y＝sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【分析】把 a，c 化为同底数，然后利用对数函数的单调性及 1 的关系进行比较．
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【解答】解：∵a＝
，b＝
，c＝
，且 5
，
∴
，
则 b＝
＜
，
∴c＞a＞b． 故选：D． 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．
6．（5 分）（2018•天津）将函数 y＝sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图
2．（5 分）（2018•天津）设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z＝3x+5y 的最
大值为（ ）
A．6
B．19
C．21
3．（5 分）（2018•天津）设 x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（
D．45 ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）（2018•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则
D． ﹣ ＝1
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y＝ ，即 bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB 是梯形，
F 是 AB 的中点，EF＝
＝3，
EF＝
＝b，
所以 b＝3，双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，可得 ，
当 x∈[
]时，2x∈[ ， ]，函数单调递增；
当 x∈[ ， ]时，2x∈[ ，π]，函数单调递减；
当 x∈[﹣ ，0]时，2x∈[﹣ ，0]，函数单调递增；
当 x∈[ ，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增． 故选：A． 【点评】本题考查 y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题．
19．（14 分）（2018•天津）设椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的右顶点为 A，上顶点为 B．已 知椭圆的离心率为 ，|AB|＝ ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于 P，Q 两点，直线 l 与直线 AB 交于点 M，且 点 P，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
输出 T 的值为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：若输入 N＝20，
则 i＝2，T＝0， ＝ ＝10 是整数，满足条件．T＝0+1＝1，i＝2+1＝3，i≥5 不成立，
循环， ＝ 不是整数，不满足条件．，i＝3+1＝4，i≥5 不成立，
可得：
，解得 a＝ ．
则双曲线的方程为： ﹣ ＝1． 故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
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8．（5 分）（2018•天津）在如图的平面图形中，已知 OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，
＝2 ， ＝2 ，则
的值为（ ）
A．﹣15
循环， ＝ ＝5 是整数，满足条件，T＝1+1＝2，i＝4+1＝5，i≥5 成立，
输出 T＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关 键．
5．（5 分）（2018•天津）已知 a＝
，b＝
，c＝
，则 a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
＝acos（B﹣ ）．
（Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin（2A﹣B）的值． 17．（13 分）（2018•天津）如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥
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平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB＝2，AD＝2 ，∠BAD＝90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
9．（5 分）（2018•天津）i 是虚数单位，复数
＝
．
10．（5 分）（2018•天津）已知函数 f（x）＝exlnx，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′（1）
的值为
．
11．（5 分）（2018•天津）如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1﹣
BB1D1D 的体积为
7．（5 分）（2018•天津）已知双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，过右焦点且
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垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分 别为 d1 和 d2，且 d1+d2＝6，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣ ＝1
B． ﹣ ＝1
C． ﹣ ＝1
2．（5 分）（2018•天津）设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z＝3x+5y 的最
大值为（ ）
A．6
B．19
C．21
D．45
【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数 z
＝3x+5y 的最大值．