2018天津理一． 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}【解析】因B ＝{x |x ≥1}，所以∁R B ＝{x |x ＜1}，因A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为A ． 6B ． 19C ． 21D ． 45【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，，可得点A 的坐标为：A (2，3)，据此可知目标函数的最大值为：z max ＝3×2＋5×3＝21．本题选择C 选项．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【解析】结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：N ＝20，i ＝2，T ＝0，Ni＝10，结果为整数，执行T ＝1，i ＝3，此时不满足i ≥5； N i ＝203，结果不为整数，执行i ＝4，此时不满足i ≥5； Ni＝5，结果为整数，执行T ＝2，i ＝5，此时满足i ≥5； 跳出循环，输出T ＝2．4．设x ∈R ，则“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不重复条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】绝对值不等式|x －12|＜12，即－12＜x －12＜12，即0＜x ＜1，由x 3＜1，即x ＜1．据此可知|x －12|＜12是x 3＜1的充分而不必要条件．本题选择A 选项． 5．已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【解析】c ＝log 1213＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c ＞a ＞1．又b ＝ln 2＜1，故c ＞a ＞b ．6．将函数y ＝sin(2x ＋π5)的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间[3π4，5π4]上单调递增B ．在区间[3π4，π]上单调递减C ．在区间[5π4，3π2]上单调递增D ．在区间[3π2，2π]上单调递减【解析】把函数y ＝sin(2x ＋π5)的图像向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin[2(x －π10)＋π5]＝sin 2x的图像，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为[3π4，5π4]，故选A ．7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为A ．x 23－y 29＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 24－y 212＝1D ． x 212－y 24＝1【解析】由题意不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2，故d 1＋d 2＝|bc －b 2|a 2＋b 2＋|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2c ＝2b ＝6，故b ＝3．又ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，故b 2＝3a 2，得a 2＝3．故双曲线的方程为x 23－y 29＝1．8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为A ．2116B ．32C ．2516D ．3【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，故A (0，0)，B (1，0)，D (－12，32)．设C (1，m )，E (x ，y )，故DC →＝(32，m ，－32)，AD →＝(－12，32)，因AD ⊥CD ，故(32，m ，－32)·(－12，32)＝0，则32×(－12)＋32(m －32)＝0，解得m ＝3，即C (1，3)．因E 在CD 上，故32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，故AE →·BE →＝(x ，y )·(x－1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈[32，3]．因函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在[32，538]上单调递减，在(538，3]上单调递增，故f (y )min ＝4×(538)2－53×538＋6＝2116．故AE →·BE →的最小值为2116． 二． 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝___________． 【解析】由复数的运算法则得：6＋7i 1＋2i ＝6＋7i1－2i 1＋2i1－2i ＝20－5i5＝4－i ．点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 10．在(x －12x )5的展开式中，x 2的系数为____________． 【解析】结合二项式定理的通项公式有：T r ＋1＝C r 5x 5－r(12x )r ＝(－12)r C r 5x 5－32r，令5－32r ＝2可得：r＝2，则x2的系数为：C 25(12)2＝52．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积__________．【解析】连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，故EH ∥AC ，EH ＝12AC ．因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，故FG ∥AC ，FG ＝12AC ．故EH ∥FG ，EH ＝FG ，故四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，故四边形EHGF 为正方形．又点M 到平面EHGF 的距离为12，故四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝⎛⎭⎫222×12＝112．12． 已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为___________．【解析】由题意可得圆的标准方程为：(x －1)2＋y 2＝1，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则．13．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为__________．【解析】由题知a －3b ＝－6，因为2a ＞0，8b ＞0，故2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．14．已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________．【解析】当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax ．令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0.作出y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x ＞0)的图像，函数g (x )的图像如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图像可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos(B －π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos(B －π6)，得a sin B ＝a cos(B －π6)，即sin B ＝cos(B －π6)，可得tan B ＝3．又B ∈(0，π)，可得B ＝π3．(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7．由b sinA ＝a cos(B －π6)，可得sin A ＝37．因a ＜c ，故cos A ＝27．因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A＝2cos 2A －1＝17．故，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314．16．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)．故，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P13512351835435随机变量X 的数学期望E (X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127．②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67．故，事件A 发生的概率为67．17．如图，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG ＝AD ，CD ∥FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E －BC －F 的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．解 依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫0，32，1，N (1，0，2)．(1)证明 依题意DC →＝(0，2，0)，DE →＝(2，0，2)．设n 0＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 0·DC →＝0，n 0·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x ＋2z ＝0，不妨令z ＝－1，可得n 0＝(1，0，－1)．又MN →＝⎝⎛⎭⎫1，－32，1，可得MN →·n 0＝0，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．(2)依题意，可得BC →＝(－1，0，0)，BE →＝(1，－2，2)，CF →＝(0，－1，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，x －2y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(0，1，1)．设m ＝(x ，y ，z )为平面BCF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，－y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得m ＝(0，2，1)．因此有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝31010，于是sin 〈m ，n 〉＝1010．所以，二面角E －BC －F 的正弦值为1010．(3)设线段DP 的长为h (h ∈[0，2])，则点P 的坐标为(0，0，h )，可得BP →＝(－1，－2，h )．易知，DC →＝(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量，故|cos 〈BP →，DC →〉|＝|BP →·DC →||BP →||DC →|＝2h 2＋5，由题意，可得2h 2＋5＝sin 60°＝32，解得h ＝33∈[0，2]．所以，线段DP 的长为33． 18．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为，是等差数列．已知，，，．(I)求和的通项公式； (II)设数列的前n 项和为，(i)求； (ii)证明．【解析】(I )设等比数列的公比为q ．由可得．因为，可得，故．设等差数列的公差为d ，由，可得由，可得从而故 故数列的通项公式为，数列的通项公式为(II )(i )由(I )，有，故．(ii )因为，故．19．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝62． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．【解析】(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b ．由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2．故，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1．(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1＞y 2＞0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2．又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2．由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4．易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1．代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128．故k 的值为12或1128．20．已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a ＞1． ⑴．求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；⑵．若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明：x 1＋g (x 2)＝－1ln a(2ln ln a )； ⑶．证明当a ≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线． 【解】⑴．由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝(a x －1)ln a ．令h ′(x )＝0，解得x ＝0．由a ＞1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：故函数h (x )的单调递减区间(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．⑵．证明：由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为a x 1ln a ．由g ′(x )＝1x ln a，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1/(x 2ln a )．因这两条切线平行，故有a x 1ln a ＝1/(x 2ln a )，即x 2a x 1(ln a )2＝1．两边取以a 为底的对数得，x 1＋log a x 2＋2log a (ln a )＝0，故x 1＋g (x 2)＝－1ln a (2lnln a )．⑶．证明：曲线y ＝f (x )在点(x 1，a x 1)处的切线l 1：y －a x 1＝a x 1ln a (x －x 1)．曲线y ＝g (x )在点(x 2，log a x 2)处的切线l 2：y －log a x 2＝[1/(x 2ln a )](x －x 2)．要证明当a ≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线，只需证明当a ≥e 1e 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得l 1和l 2重合．即只需证明当a ≥e 1e 时，方程组a x 1ln a ＝1/(x 2ln a )①，a x 1(1－x 1ln a )＝－1ln a＋log a x 2②有解，由①得，ax 1(ln a )2＝1x 2，代入②得，x 1＋a x 1(1－x 1ln a )＋1ln a(1＋2lnln a )＝0③，因此，只需证明当a ≥e 1e 时，关于x 1的方程③有实数解．设函数u (x )＝x ＋a x (1－x ln a )＋1ln a(1＋2lnln a )，即要证明当a ≥e 1e 时，函数y ＝u (x )存在零点．u ′(x )＝1－xa x (ln a )2，可知x ∈(－∞，0)时，u ′(x )＞0；x ∈(0，＋∞)时，u ′(x )单调递减，又u ′(0)＝1＞0，u ′(x )[1/(ln a )2]＝1－a [1/(ln a )2]＜0，故存在唯一的x 0，且x 0＞0，使得u ′(x 0)＝0，即1－x 0a x 0(ln a )2＝0．由此可得u (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．u (x )在x ＝x 0处取得极大值u (x 0)．因a ≥e 1e ，故lnln a ≥－1，故u (x 0)＝x 0＋a x 0(1－x 0ln a )＋1ln a(1＋2lnln a ) ＝x 0＋[1/x 0(ln a )2]＋1ln a (1＋2lnln a )≥1ln a(2＋2lnln a )≥0． 下面证明存在实数t ，使得u (t )＜0．由⑴得，a x ≥1＋x ln a ，当x ＞1ln a 时，有u (x )≤x ＋(1＋x ln a )(1－x ln a )＋1ln a (1＋2lnln a )＝x ＋1－x 2(ln a )2＋1ln a(1＋2lnln a )，故存在实数t ，使得u (t )＜0，因此，当a ≥e 1e 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，使得u (x 1)＝0．故当a ≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，故在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。