（四十五） 抛 物 线[小题对点练——点点落实]对点练(一) 抛物线的定义及其应用1．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6. 2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，±22B.⎝⎛⎭⎫14，±1 C.⎝⎛⎭⎫12，±22D.⎝⎛⎭⎫12，±1 解析：选A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝⎛⎭⎫14，±22.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，x ＝4.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2解析：选C 由抛物线定义可知，点P 到准线的距离可转化为其到焦点F 的距离，即求|PQ |＋|PF |的最小值．设圆的圆心为点C ，因为|PQ |≥|PC |－1，所以|PQ |＋|PF |≥|PC |－1＋|PF |≥|FC |－1＝17－1，故选C.6．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为p 2，则p2＝1，解得p＝2.答案：27．(2018·河南三门峡模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线交抛物线于A ，B 两点，||FB |－|FA ||＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线为x ＝－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，可得x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3＋22，x 2＝3－22， 由抛物线的定义可得|FA |＝x 1＋1＝4＋22，|FB |＝x 2＋1＝4－22，则||FB |－|FA ||＝4 2. 答案：4 2对点练(二) 抛物线的标准方程及性质1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p2，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋⎝⎛⎭⎫222＝(2)2，解得p ＝2.2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA ―→与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为( )A.32B ．2 C. 3D ．1解析：选C 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m,2＋m ＝2m ，m ＝2，所以|AD |＝23，所以S △OAF ＝12×1×23＝ 3.3．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝4xB ．y 2＝4x 或y 2＝8xC ．y 2＝6x 或y 2＝8xD ．y 2＝2x 或y 2＝8x解析：选B 由题可得直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，与抛物线方程C ：y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p 24＝0.∵AB 的中点为M (3,2)，∴⎩⎨⎧p 2＋pk 2＝3，2＝k ⎝⎛⎭⎫3－p 2，解得k ＝1或k＝2，∴p ＝2或p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .4．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点M (2，±2p )，焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0.∵点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋p2＝3，解得p ＝2.∴|OM |＝4＋8＝2 3.5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意知，点P (10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25，即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425，∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．答案：3.846．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.答案：67．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，则F 1(－2a,0)，F 2(2a,0)．抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，得x ＝3a (x ＝－a3舍去)，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－2[大题综合练——迁移贯通]1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43(x －1)，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.2．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.故λ的值为0或2.3.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。