以二元模糊关系为例，设������和������是两个非空集合，则在 积空间������ × ������ = {(������, ������)|������ ∈ ������, ������ ∈ ������}中的一个模糊子集������称为 ������ × ������中的一个二元模糊关系。������可表示为
න
������������ (������)������������ (������) (������, ������)
������������
模糊逻辑与近似推理
➢ 近似推理过程： 前提1（事实）：������是������’ 前提2（规则）：������������ ������ 是 ������，������ℎ������������ ������ 是 ������ 结论：������是������’ 这里������’和������是论域������中的模糊集合，������’和������是论域������中的模
⋯ ������������ ������2, ������������
⋱
⋮
������������ ������������, ������1 ������������ ������������, ������2 ⋯ ������������ ������������, ������������
例：������ = {子，女}，������ = {父，母}，模糊关系������“子女与
父母长得相似”，用模糊矩阵表示则为：
父母
������
=
子 女
0.8 0.3
0.3 0.6
模糊控制的数学基础
➢ 模糊关系合成 设������、������、������是论域， ������是������到������的一个模糊关系， ������是������到������
的一个模糊关系，则������到������的合成������是������到������的一个模糊关系， 记������ = ������ ∘ ������，它具有隶属度
������ − 25 2 −1 5
������
模糊控制的数学基础
➢ 常用隶属度函数
➢ 隶属函数形状较尖时 ，分辨率较高，输入 引起的输出变化比较 剧烈，控制灵敏度较 高
➢ 曲线形状较缓时，分 辨率较低，输入引起 的输出变化不那么剧 烈，控制特性比较平 缓，具有较好的系统 稳定性。
模糊控制的数学基础
න
������������(������) ������
������
෍
������=1
������������ (������������ ) ������������
������ ∈ ������, ������为连续论域 ������������ ∈ ������, ������为离散论域
模糊控制的数学基础
������������∘������ ������, ������ = ሧ(������������ ������, ������ ∗ ������������ ������, ������ )
������������������
其中“∨”是并的符号，它表示对所有������取极大值或上届 值，“*”是二项积的符号，“*”算子可以定义为多种运算， 其中模糊交运算和代数积运算是模糊控制中最常用的两种。
其值越接近于1, 表示������从属于������的程度越高; 其值接近于0, 表示������从属于������的程度越低。
模糊控制的数学基础
➢ 模糊集合的表示方法 模糊集合有很多种表示方法，最根本的是要将它所
包含的元素及相应的隶属度函数表示出来。
➢ 序偶法 ➢ Zadeh法
������ = {(������, ������������ ������ )|������ ∈ ������}
➢ 什么是模糊控制？ 模糊控制是用模糊数学的知识模仿人脑的思维方式，对
模糊现象进行识别和判决，给出控制量，对被控对象进行控 制。 ➢ 模糊控制的特点 （1）不需要建立对象的精确模型。 （2）具有鲁棒性和适应性好的特点，适合于解决常规控制难 以解决的非线性、强耦合、时变和时滞系统。 ➢ 模糊控制的缺点 （1）信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态 品质变差。 （2）模糊控制的设计尚缺乏系统性。
➢ 模糊蕴含最小运算：
������������ = ������ → ������ = ������ × ������ =
න
������������(������) ∧ ������������(������) (������, ������)
������������
➢ 模糊蕴含积运算：
������������ = ������ → ������ = ������ × ������ =
������������×������ = ������, ������ , ������������ ������, ������ |(������, ������)������������ × ������ 模糊关系������是一个模糊集合，由其隶属度函数完全刻画 。
模糊控制的数学基础
➢ 模糊关系的模糊矩阵表示
➢ 模糊集合的基本运算 ➢ 模糊集合的并集
若有三个模糊集合������、������、������，对于所有������ ∈ ������，均有 ������������ ������ = ������������ ������ ∨ ������������ ������ = max ������������ ������ , ������������ ������
+
0.1 5
序偶法：������ = ������, ������������ ������ ������ ∈ ������
= { 0,1.0 , 1,0.9 , 2,0.75 , 3,0.5 , 4,0.2 , 5,0.1 }
➢ 例2：以年龄为论域，取������ = [0,100]。模糊集合“年轻”
的隶属度函数为：
������������ (������)
1
0 ≤ ������ ≤ 25
������ − 25 2 −1
1+ 5
25 ≤ ������ ≤ 100
模糊控制的数学基础
➢ 模糊集合则表示为：
1
1+
������ = න ������ + න
0≤������≤25
25≤������≤100
➢ 近40年来，模糊控制在理论、方法和应用上都取得了巨大 的进展，如模糊系统的万能逼近特性，模糊状态方程及稳 定性分析，软计算技术等等
模糊控制应用
➢ 机器人控制 ➢ 车辆自动驾驶 ➢ 温室温度模糊控制 ➢ 洗衣机模糊控制 ➢ 电饭锅模糊控制 ➢ 人口变化趋势预测 ➢ 黄河流域雨量预测
模糊控制概述
模糊控制
Fuzzy Control
模糊控制发展历程
➢ 1965年，美国控制论专家Zadeh提出了模糊集合的概念， 提供了处理模糊信息的工具。
➢ 1974年，英国教授Mamdani首先将模糊控制应用于锅炉和 蒸汽机的控制。
➢ 20世纪80年代, 日本的工程师用模糊控制技术首先实现了 对一家电子水净化工厂的控制, 又开发了仙台地铁模糊控 制系统, 创造了当时世界上最先进的地铁系统。
则称������为������与������的交集，记为������ = ������ ∩ ������。 ➢ 模糊集合的补集
若有两个模糊集合������、������，对于所有������ ∈ ������，均有 ������������ ������ = 1 − ������������ ������
➢ ���������������(���������������������)并不表示相除关系，而表示论域中的元素������������与其隶属 度������������ (������������ )的对应关系。
➢ 积分符号和求和符号也不表示积分和求和，而是表示论域 ������上的元素与隶属度的对应关系的一个总括。
当论域������、������是有限集合时，模糊关系可以用模糊矩阵
来表示。设������ = {������1，������2， ⋯ ������������}， ������ = {������1，������2， ⋯ ������������}，定 义在������ × ������上的二元模糊关系������可用如下的������ × ������阶矩阵来表
模糊控制的数学基础
➢ 模糊集合
设给定论域X，������ = {������}是������中的模糊集合的含义是，它是
以隶属度函数： ������������: ������ → 0,1
表示其特征的集合。
➢ 论域X 是指所讨论的事务的全体；
➢ ������������称为模糊集合的隶属度函数； ➢ ������������(������)称为������对������的隶属度, 其大小反映了������对������的从属程度,
则称������为������与������的并集，记为������ = ������ ∪ ������。
➢ 模糊集合的交集 若有三个模糊集合������、������、������，对于所有������ ∈ ������，均有 ������������ ������ = ������������ ������ ∧ ������������ ������ = m������������ ������������ ������ , ������������ ������
示：
������������ ������1, ������1 ������������ ������1, ������2 ⋯ ������������ ������1, ������������