专题15 角含半角模型破题策略1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°（1）△BAE∽△ADE∽△CDA（2）BD2＋CE2＝DE2．B C证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，所以△BAE∽△ADE∽△CD A．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．B C则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，所以△ADE∽△FAE （SAS）．所以DE＝EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．B C因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，又因为∠BAD＝∠DAF，则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，所以△FAE∽△CAE（SAS）．所以EF＝E C．而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°，所以BD2＋EC2＝FD2＋EF2＝DE2．【拓展】①如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC 上，点E在BC的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．D可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：DD②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且∠DAE＝12∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°－∠BA C．B可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：BB2． 正方形角含半角如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则：图1BCE图2F B图3F EBC（1）EF ＝BE ＋DF;（2）如图2，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，则AG ＝AD ;（3）如图3，连结BD 交AE 于点H ，连结FH ． 则FH ⊥AE ．（1）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明．图4ED则∠IAF ＝∠EAF ＝45°，AI ＝AE ， 所以△AEF ∽△AIF （SAS ），所以EF ＝IF ＝DI ＋DF ＝BE ＋DF ．（2）因为△AEF ∽△AIF ，AG ⊥EF ，AD ⊥IF ， 所以AG ＝A D ．（3）由∠HAF ＝∠HDF ＝45°可得A ，D ，F ，H 四点共圆， 从而∠AHF ＝180°－∠ADF ＝90°， 即FH ⊥AE ．【拓展】①如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，DC 的延长线上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则EF ＝DF －BE ．F可以通过旋转的方法来证明.如图:②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180 °，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=12∠BAD，连结EF，则EF=BE+DF.C可以通过旋转的方法来证明.如图:FC G例题讲解例1 如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°.（1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE＋FD.（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD．DF＝401）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据： 1.41 1.73）图1FABE图2D 图3EB解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EF ＝BE ＋FD ． （2）∠BAD ＝2∠EAF ，理由如下：如图4，延长CD 至点G ，使得DG ＝BE ．连结AG. 易证△ABE ≌△ADG （SAS ）. 所以AE ＝AG ，即EF ＝BE ＋DF ＝DG ＋DF ＝GF . 从而证得△AEF ≌△AGF （ SSS ）．所以∠EAF ＝∠GAF ＝12∠EAG ＝12∠BAD . 图4图5CBE（3）如图5，将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG ．连结AF ．由题意可得∠BAE ＝60°所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG 于点H．则DH ＝12AD ＝40m，AHAD ＝而DF ＝401）m. 所以∠EAF ＝∠GAF ＝45°. 可得△EAF ≌△GAF （SAS ）．所以EF ＝GF ＝80m+40l ）m ≈109. 2m.例2如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM 、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足∠MA N ＝45°．连结MC 、NC 、MN ．（1）与△ABM 相似的三角形是 ，BM DN ＝ （用含有a 的代数式表示）； （2）求∠MCN 的度数；（3）请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系，并证明你的结论.B解：（1）△NDA ，2a . （2）由（1）可得BM ABAD ND=， 所以BM DCBC DN=． 易证∠CBM ＝∠NDC ＝45°， 所以△BCM ∽△DNC ． 则∠BCM ＝∠DNC ，所以∠MCN =360°一∠BCD 一∠BCM 一∠DCN ＝270°－ （∠DNC +∠DCN ） ＝270°－（180°－∠DNC ） ＝135°．（3） 222BM DN MN +=，证明如下：如图，将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，连结EM. 易得AE ＝AN . ∠MAE ＝∠MAN ＝45°，∠EBM ＝90°， 所以△A ME ≌△AMN .（SAS ）. 则ME ＝MN ．在Rt △BME 中，222BM BE EM += 所以222BM DN EM +=.EN倒3 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°.若CD ＝4，求△ABE 的面积.图1E解：如图1．过点A 作CB 的垂线，交CB 的延长线于点F .由∠DAC =45°，∠ADC ＝90°，可得AD ＝CD.所以四边形ADCF 为正方形. 从而AF ＝ FC ＝4．令BC ＝m ，则AB ＝4＋m ，BF ＝4－m ．在Rt △AFB 中，有16＋（4－m ）2一（4＋m ）2所以AB ＝5，BF ＝3．如图2．将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH ≌△AEB ．令DE ＝n ，则CE ＝4 －n ，BE ＝BG ＝3＋n在Rt △BCE 中，有1+（4－n ）2＝（3＋n ）2，解得n ＝47. 所以BG ＝257. 从而15027ABE ABG S S AF BG ∆∆===.图2E进阶训练1.如图，等边△ABC 的边长为1，D 是△ABC 外一点且∠BDC ＝120°，BD ＝CD ，∠MDN ＝60°，求△AMN 的周长．BC△AMN 的周长是2【提示】如图，延长AC 至点E ，使得CE ＝BM ，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，再证△MDN ≌△EDN 即可.2．如图，在正方形ABCD 中，连结BD ，E 、F 是边BC ，CD 上的点，△CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，试判断线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．NMCDFE BA解：BM 2＋DN 2＝MN 2．【提示】由△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF ≌△AGF ，得∠MAN ＝12∠BAD ＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．图2图1AFDDFA3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AB 上，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝BC ，点F 在边AC 上，连结BF 交DE 于点G ，若∠DBF ＝45°，DG ＝275，BE ＝3，求CF 的长． G F EDCBA解：CF ＝125． 【提示】如图，将DE 向左平移至BH ，连结HD 并延长交AC 于点I ，则四边形HBCI 为正方形．将△BHD 绕点B 顺时针旋转90°至△BCJ ，则点J 在AC 的延长线上．连结DF ，由“正方形角含半角模型”可得DF ＝DH ＋CF ，∠DFB ＝∠JFB ＝∠DGF ，所以DF ＝DG ，从而求得CF 的长．JIHABC DEF G。