第 1 页 共 5 页数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知u =则ux∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则Lxdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L（x +y ）= 。

4、改变累次积分32dy f dx ⎰⎰3y（x ，y ）的次序为 。

5、设1D x y +≤：，则1)Ddxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。

( )2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。

( )3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。

( )5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。

( )第 2 页 共 5 页三、计算题 （ 每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分(sin 3)(cos 3)x x AOI e y y dx e y dy =-+-⎰ ，其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分22()Vxy dxdydz +⎰⎰⎰，是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

第 3 页 共 5 页3、计算第一型曲面积分SI dS =⎰⎰ ，其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。

4、计算第二型曲面积分 22()()SI y x z dydz x dzdx yxz dxdy =-+++⎰⎰，其中S 是立方体[][][]0,0,0,V b b b =⨯⨯的外表面。

第 4 页 共 5 页5、设{}222(,)D x y x y R =+≤. 求以圆域D 为底，以曲面22()x y z e -+=为顶的曲顶柱体的体积。

四、证明题(每小题7分，共14分)1、验证曲线积分第 5 页 共 5 页222(2)(2)(2)Lx yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰，与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,,)u x y z 。

2、证明：若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得 (,)(,)DDf x y d f Sσξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。

参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、22x x y +；22y x y +；2222x ydx dy x y x y+++。

2、22a π； 3、54π ； 4、322(,)Xdx f x y dy ⎰⎰ ；5、1)。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）1、×；2、○；3、×；4、× ；5、○ .第 6 页 共 5 页三、计算题 （ 每小题9分，共45分）1、解：补上线段:0,0OA y x a =≤≤ 与弧22:(0)AO x y ax y +=≥构成封闭曲线，由格林公式，有(sin 3)(cos 3)(sin 3)(cos 3)x x xx OAOA AOI e y y dx e y dy ey y dx e y dy +=-+---+-⎰⎰----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =220:(0)cos (cos 3)0ax x D x y ax y e y e y dxdy dx +≤≥⎡⎤---⎣⎦⎰⎰⎰-----------------------------8分=2338Ddxdy a π=⎰⎰--------------------------------------------------------------------9分 2、解：作柱面坐标变换：cos ,sin ,x r y r z z θθ===， 则(,,)J r z r θ= 且2:4,02,02V V r z r θπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分22222243()683293VV r x y dxdydzr rdrd dz d r dr dz πθθπ'∴+=⋅--------------------=--------------------=-------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分3、解：22S Z R a =∈≤-22：x ，y ）D ：x +y.dS =第 7 页 共 5 页=SDI dS ∴==⎰⎰--------------------------4分作极坐标变换：cos x r θθ=，y=rsin ， 则 J θ（r ，）=r ，且0D D r θπ'⇒≤≤≤≤：：02D I θ'==20d π⎰-----------------------------------7分2R π=（R-a ）----------------------------------------------9分4、解：用高斯公式，得I dxdydz=⎰⎰⎰V （y+0+x ）------------------------------------6分=dx dy dz ⎰⎰⎰bbb（x+y ）----------------------------------8分=4b --------------------------------------------------9分5、解：曲顶柱体的体积22x y DV e dxdy -+=⎰⎰（）-----------------4分作极坐标变换：cos sin x r y r θθ==，，则 J θ（r ，）=r ， 且 002D D r R θπ'⇒≤≤≤≤：， ，于是，有 2r D V e rdrd θ-'=⎰⎰=220Rrd e rdr πθ-⎰⎰--------------------------------------8分第 8 页 共 5 页=π2-R （1-e ）-----------------------------------------------9分四、证明题(每小题7分，共14分)1、证明：222222P x yz Q y xz R z xy =-=-=-，，222P Q R Q P Rz x y y x y z z x∂∂∂∂∂∂==-=-==-∂∂∂∂∂∂，，，∈3（x ，y ，z ）R . ∴曲线积分与路线无关。

-----------------------------------4分取000x y ==，则yzu P dx Q dy R dz =++⎰⎰⎰x（x ，y ，z ）（x ，0，0）（x ，y ，0）（x ，y ，z ）=220yxzx dx y dy dz ++⎰⎰⎰2（z -2xz ）-------------------7分=13=333（x +y +z ）-2xyz --------------------------9分1、证明：由 最值定理，函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小值m ，且∀∈（x ，y ）D ，有m f M ≤≤（x ，y ）， 上式各端在D 上积分，得D D DmS f d MS σ≤≤⎰⎰（x ，y ），或 f d m M σ≤≤⎰⎰DD（x ，y ）S ，其中D S 为D 的面积。

根据介质性定理，存在D ξη∈（，），使得第 9 页 共 5 页f d f f σξησξη==⋅⎰⎰⎰⎰DD DD（x ，y ）（，），即f （x ，y ）d （，）S S。