中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷）
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一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）
1、设 82lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→x
x a x a x ， 则 =a 。

2、设函数)
2(1
)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点
是 。

3、设)1ln(2
x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1
0⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1
⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）
1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞
→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若n
x 1
为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()
()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则
)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰
-=dt t f x F x e x
)()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）()
)(x f e f e x x ----。

（B ）()
)(x f e f e x x +---。

（C ） ()
)(x f e f e x x --- 。

（D ）()
)(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+
=在3
π
=x 处取得极值，则（ ）。

（A ）)3(,1πf a =是极小值。

（B ）)3
(,1π
f a =是极大值。

（C ）)3(,2πf a =是极小值。

（D ）)3
(,2π
f a =是极大值。

三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 )
1ln(sin 1tan 1lim 3
x x
x x ++-+→
2、设4lim 221=-++→x
x b
ax x x ，求 b a 、。

3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=t
t y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y
d dx dy 、。

4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dx
x df x )
(sin lim 20+→ 。

5、求不定积分 dx x
x
x ⎰3
cos sin 。

6、求定积分dx x ⎰cos 4。

7、设⎩⎨⎧≥<=-0
sin )(2
2x xe
x x
x f x ， 求 ⎰-dx x f )2(31 。

四、证明下列不等式（本题10分） 1、
)2,0(,
sin 2π
π
∈<<x x x x
； 2、2sin 12
π
π
<<⎰dx x x 。

五、（本题10分）
设 0
0)()(=≠⎪⎩⎪
⎨⎧-=-x x x
e x g x
f x
，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。

（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

六、（本题8分）
设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(22
2
ξξf a b a f b f '-=-。

(8分)。