高数上册重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x y 1=（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x ∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。
极小值点与极大值点统称极值点。
15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。
16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x<x0,f"(x)>0；x>x0时，f"(x)<0或x<x0,f"(x)<0；x>x0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。
17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。
18、改变单调性的点：0)('0=x f ，)('0x f 不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）19、改变凹凸性的点：0)("0=x f ，)(''0x f 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。
21、中值定理：(1)罗尔定理：)(x f 在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点ξ，使得0)('=ξf (2)拉格朗日中值定理：)(x f 在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点ξ，使得)(')()()(ξf a b a f b f -=-(3)积分中值定理：)(x f 在区间[a,b]上可积，至少存在一点ξ，使得)()()(ξf a b dx x f ba-=⎰22、常用的等价无穷小代换：333231~tan ,61~sin ,21~sin tan 21~cos 1)1ln(~)11(2~1~tan ~arctan ~arcsin ~sin ~x x x x x x x x x x x x x e x x x x x x ----+-+- 23、对数求导法：例如，xx y =，()1ln '1ln '1ln ln +=⇒+=⇒=x x y x y yx x y x 解：24、洛必达法则：适用于“00”型，“∞∞”型，“∞•0”型等。
当∞→∞→→/0)(,/0)(,0x g x f x x ，)('),('x g x f 皆存在，且0)('≠x g ，则)(')('lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x →→= 例如，212sin lim 002cos lim 001sin lim 0020=+---→→→x e x x e x x e x x x x x x 25、无穷大：高阶+低阶=高阶 例如， ()()()422lim 2321lim 532532==+++∞→+∞→x x x x x x x x 26、不定积分的求法(1)公式法(2)第一类换元法（凑微分法）(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：22x a -，可令t a x sin =；22a x +，可令t a x tan =；22a x -，可令t a x sec = 2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换tx 1=27、分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv ，选取u 的规则“反对幂指三”，剩下的作v 。
分部积分出现循环形式的情况，例如：dx x xdx e x ⎰⎰3sec ,cos28、有理函数的积分：例如：()⎰⎰⎰⎰+++=+++=++dx x dx x x dx x x x x dx x x x 323311)1(12)1()1(2)1(23其中，前部分⎰+dx x x 2)1(1需要进行拆分，令222)1(1)1(1)1(1)1(1+-+-+=+-+=+x x x x x x x x x x x 2)1(1111+-+-=x x x29、定积分的定义：∑⎰=→∆=ni iibax f dx x f 1)(lim )(ξλ30、定积分的性质：(1)当a=b 时，⎰=ba dx x f 0)(；(2)当a>b 时，⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()((3)当f(x)是奇函数，0,0)(>=⎰-a dx x f aa(4)当f(x)是偶函数，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((5)可加性：⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(31、变上限积分：)()()(')()(x f dt t f dx dx dt t f x xaxa ==Φ⇒=Φ⎰⎰ 推广：[])(')()()(x u x u f dt t f dxdx u a=⎰32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：)()()(a F b F dx x f ba-=⎰33、定积分的分部积分法：[]⎰⎰-=bababavdu uv udv 例如：⎰xdx x ln34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim )((2)无界函数的反常积分：dx x f dx x f b ta t ba⎰⎰+→=)(lim )(35、平面图形的面积：(1)[]⎰-=badx x f x f A )()(12(2)[]dy y y A dc⎰-=)()(12ϕϕ36、旋转体的体积：(1)绕x 轴旋转，[]⎰=badx x f V 2)(π(2)绕y 轴旋转，[]dy y V dc⎰=2)(ϕπ。