1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1

O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
记作 f (x,y,z)dS
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上 对面积
上的部分, 则
原式 = 1234 xyz dS
1
x
1y
4xyzdS
4 :z 1 x y ,(x,y)D xy: 0 0 y x1 1x

1
1x
3 x dx y(1xy)dy
0
0
3 120
例3 设 :x2y2z2a2(a0)
I3 2(x2y2z2)dS3 4 (xyz)dS
xdSydSzdS利用重心公式
4 xdS 4xdS
x xd S d S
例6 已知曲面壳
的面密度
求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的
质量 M .
解 在 xOy 面上的投影为 Dxy:x2y22, 故
第四节
第十一章
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k,k,k)
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
的方法, 可得
n
M
k 1
片光滑曲面 1,2, 则有
f(x,y,z)dS1 f(x,y,z)dS
• 线性性质.
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f (x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积
函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为 M(x,y,z)dS
曲面面积为
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在.
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
( 光滑)
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f( x ,y , D x y
)1 z x 2 ( x ,y ) z y 2 ( x ,y ) d x d y
说明: 如果曲面方程为
x x (y ,z)(,y ,z) D y z 或 y y (x ,z )(x ,,z ) D x z
M dS 314(x2y2)dxdy

D xy
z
32πd
2
r
14r2dr
00

6π 1 214r2d1 (4r2) 80 13 π
Dxy 2 y x
内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f(i,i,i)Si
i1
2. 计算: 设 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y ,则
a2h2 rdr
0
a2 r2
2πa1 2lna2(r2)
a2h2
0
思考:
若 是球面
出的上下两部分, 则
dzS( 0
被平行平面 z =±h 截
z

)
h

dS( z
4
π
a
ln
a h
)
y x h

例2 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解 设 1,2,3,4分别表示 在平面 1
I 1(x2y2)dS

(x2y2)
Dxy
a
dxd y
a2 x2 y2
2π
d
1 2
2a
ar2
rdr
0 0 a2r2
1πa4(85 2)
x
6
思考: 若例3 中被积函数改为
z
1 Dxy y
计算结果如何 ?
例4 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
可有类似的公式：
f( Dyz
,y,z)
f(x, Dxz
,z)
例1 计算曲面积分
其中 是球面
被平面
截出的顶部.
解
D xy:x2y2a2h2
z

h
1zx2 z2y
D x y ay x

dS z
adxdy
2π
Dxy a2x2y2 a 0 d