对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件
双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合 外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l， 根据角动量守恒 弹性碰撞， 机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l
m
m
3 l L 3
例4一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其中 心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台上距转轴 为R/2处，设开始时转台与人相对于地面以角速度0匀 速转动，求此人走到转台边缘时，人和转台一起转动的 角速度
二 定轴转动刚体的角动量定理
根据转 动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r

作用在刚体上的合外力对转轴的力 矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1
质量 力 运动规律
d d 2 2 dt dt
d dt
m
F ma
F
m r
2
i i
r dm
2
M z F d
M J
转动定律
质点的运动
动量
刚体的定轴转动
角动量
p mv
L J
动量定理
时间 累积

t2
t1
Fdt p2 p1
两端带小球的轻质细杆 对转轴的转动惯量
O
1 l 3 2 l 3
2 2 1 2 J m( l ) 2m( l ) 3 3 2 2 ml 3
v0 2 v0
m
m
整个系统受外力矩为零，所以角动量守恒
v0 2 2 2 2 mv0 l m l ml 3 2 3 3
细杆获得的角速度
取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 作用力和重力不产生力矩，系统所受 外力矩为零，系统角动量守恒
O
M
m
v0
l
v0 / 4
1 1 2 mv0l Ml m v0l 3 4
9mv0 4Ml
例2 一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑轴O转动，转轴O距杆的两端 分别为l/3和2l/3，今有一质量为m点小球以水平速度v0 与杆下端小球m做对心碰撞后以v0/2的速率返回，求碰 撞后细杆获得的角速度 2m
0
m
M
R
O
取人与转台为一系统，由于转 台和人的重力以及转轴对转台 的支承力都平行于转轴，这些 力对转轴的力矩为零，所以该 系统对转轴的角动量守恒
0
M1 2 [ MR m( ) ]0 [ MR 2 mR 2 ] 2 2 2 2M m 0 2 M 4m
角动量定理

t2
t1
Mdt L2 L1
动量守恒定律 F外 0
角动量守恒定律
mi vi 恒量
M 0 L 恒量
i
质点的运动 力的功 W F dr
空 间 累 积
刚体的定轴转动
力矩 W M d 的功 转动 动能

1 2 动能 EK mv 2
z
O

ri
L mi ri vi mi ri
2
vi
mi
整个刚体对转轴的角动量等于刚体 上所有质元对转轴角动量的和
Lz mi ri ( mi ri )
2
2
刚体对转轴Oz的转动惯量J 刚体对定轴 Lz J ——描写刚体绕定轴转 的角动量 动状态的物理量 如何改变刚体的角动量？
例5 一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其 中心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台边缘。 开始时人和转台都相对于地面静止。求当人沿转台边缘 走完一周时，转台对地面转过的角度 取人和转台作为系统，在人走 动过程中，人和转台之间的作 用力为内力，系统所受外力方 向都与转轴平行，对轴不产生 力矩，系统角动量守恒
m
O
M
R
1 0 MR 21 mR 22 2
1 2 mR 2 MR 1 2
2
人在转台上走一周，对台走过2 对地走过的角度
d1 1 2 d 2 mR MR dt 2 dt 1 m 2 2 mR d1 MR d 2 2 1 2 1 2 mR d MR2d 0 0 2 1 m1 M 2 2
2m
O
1 l 3 2 l 3
3v0 2l
v0 2 v0
m
m
例3 一长度为L、质量为m的均质细棒的一端悬于O点， 并可绕过O点的水平轴自由转动。在O点又有一轻绳， 悬挂一质量也为m的小球。当小球偏离竖直方向某一角 度由静止开始释放，并与静止的细杆发生弹性碰撞，问 当绳为多长时，碰后小球刚好静止
1
合外力矩的冲量矩
刚体角动量的增量
定轴转动刚体的角动量定理
dL M dt
——力矩是改变刚体角动量的原因 定轴转动刚体角动量定理的积分形式

t2
t1
Mdt L2 L1
——反映了力矩对时间的累积效果
作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩在某段时间 内的冲量距等于刚体在同一时间内角动量的增量
三 刚体的角动量守恒定律
动能定理
1 2 Ek J 2
动能定理
1 2 1 2 W mv2 mv1 2 2
机械能守恒定律
1 2 1 2 W J2 J1 2 2
W外 W非保内 0
Ek E p 恒量
m v
O
v m

例6 AB两飞轮的轴杆在同一直线上，设两轮的转动惯 量分别为 JA＝10 kg· 2 和 JB＝20kg· 2。开始时A轮转 m m 速为600 rev/min，B轮静止。当A和B啮合时，B轮加速 而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求： 1) 两轮啮合后的转速； 2) 两轮各自所受的冲量矩
对于由几个物体组成的系统，如果它们都围绕同 一定轴转动，那么当该系统所受合外力矩为零时， 系统对该定轴的合角动量不变
M外 0
J ii 常量
如果该系统原来是静止的，则总角动量为零。当 通过内力使系统的一部分转动时，另一部分必会 沿反方向转动，而系统的总角动量仍将保持为零
当直升机上方的旋翼转动时，它必然引起机身反向打 转，以维持总角动量为零，而直升机侧向的尾桨可以 提供一个附加的水平力，保证机身不打转
B 轮受的冲量矩

t2
t1
M B dt J B 4.19 10 N m s
2
两圆柱A、B分别绕自身的中心轴O1和O2转动，如果开 始时两圆柱分别以角速度10、20同向旋转，然后缓 缓使它们相互接触，当接触处无相对滑动时，两圆柱 各自的角速度分别为多少？
10
f
m1
O1 R1
角动量守恒定律并不包含在动量守恒或能量守恒定
律中，所以它是自然界一个独立的基本定律，不仅 适用于经典力学领域，也适用于微观和高速领域
例1 一长为l、质量为M的均质棒，放在水平光滑桌面上， 棒可绕通过其一端的固定光滑轴O转动。初始时棒静止， 今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在棒 中，如果子弹的质量为m，速率为v0，求棒开始和子弹 一起转动时角速度 取棒和子弹为一系统 由于转轴O处有冲力作用， 所以系统的动量不守恒！ 由于O处的冲力通过转轴， 所以系统受外力矩为零，系 统的角动量守恒
2
O
M
R
1 2 2
4m 2 M 2m
一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动， 如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反 并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘 内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度
A. 增大 B. 不变 C. √ 减小 D. 不能确定

l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3

l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
根据

t2
t1
Mdt L2 L1
刚体所受外力矩为零
M 0