2014 年高考天津理科卷的第 20 题几种解法尝试
陕西蓝田城关中学 靳小平 题目：设 f ( x) x ae x (a R) ， x R. 已知函数 y f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ，且 x1 x2 . (I)求 a 的取值范围 (II)证明：
x2 随着 a 的减小而增大； x1
1 令 k (a, x) x ae x ，即对任意 a1 , a2 (0, ) ， x R 且 a1 a2 ，有 k (a1 , x) k (a2 , x) e
又由(I)知，在区间 (, ln a) 内 y f ( x) 为增函数，在区间 ( ln a, ) 内 y f ( x) 为减函 数，设 k (a1 , x) 0 有两解 x1 , x2 ，且 0 x1 ln a1 , ln a2 x2 ， k (a2 , x) 0 有两解 x3 , x4 ，且
(III) 证明： x1 x2 随着 a 的减小而增大. 解析：(I) f ( x) 1 ae x ，当 a 0 时， f ( x) 0 ， y f ( x) 至多有一个零点，与题意不符； 当 a 0 时， f ( x) 0 有一解 x ln a ，在区间 (, ln a) 内 f ( x) ，在区间 ( ln a, ) 内 f ( x) 0 ， y f ( x) 有最大值 f ( ln a) ln a 1 ，要使函数 y f ( x) 有两个不同的零点
ea
1
1
1
1
1 1 1 e a 1 a e a 令 (a) ln a e a ，则 (a) 2 2 ， a a a a a2
1
ea 再令 (a ) 1 a e ，则 (a) 1 2 0 ， a
1 1 所以 (a) ( ) 1 ee 0 ，即 (a) 0 ，所以 (a) 为增函数， e e
x2 增大. x1
ex ，当 x1 ln a 1 ae x
证法 3：对 x ae x 两边求关于 a 的导数，得 x e x ae x x ，所以 x 时， x1
e x1 e x2 0 ，当 x2 ln a 时， x2 0 ，设 p(a) x2 x1 ， x1 1 ae x2 1 ae
1 x1 , x2 ，必须满足 f ( ln a) ln a 1 0 ，解得 0 a ，取 p 0 ， f ( p) f (0) a 0 ， e
1 1
1
ln ea 1 ea 1 取 q ln 1 此时 q e 1 1 ln a ， f (q) ln ae a ln a e a ， a a a a
0 x3 ln a1 , ln a2 x4 ，则 0 k (a1 , x1 ) k (a2 , x3 ) k (a1 , x3 ) ，所以 0 x3 x1 ； 0 k (a1 , x2 ) k (a2 , x4 ) k (a1 , x4 ) ，所以 x2 x4 ，
(,1) 内随着 x1 的增大， a 增大，也就是说，随着 a 的减小， x1 减小；而当
x2 ln a ln
1 1 时， a 0 ， a 为 x 的减函数，即在 (1, ) 内随着 x2 的增大， a 减小， e
也就是说，随着 a 的减小， x2 增大. 总之，随着 a 的减小，
小，
1
1 a
1 ea f (ln ) (a) ( ) e 1 ee 0 . e a 1 综上所述知，函数 f ( x) x ae x (a R) 存在两个相异零点的条件是 0 a . e 1 (II)证明：设 g (a) x ae x (a (0, )) ，则 g (a) ex 0 ，即函数 y g (a) 为减函数. e
x4 x2 x ，所以 2 随着 a 的减小而增大. x3 x1 x1
引理：函数 y f ( x) 是定义域为 D ，值域为 E 的连续增（减）函数，则在区间 E 内，随着
y 的增大， x 增大（缩小）
证法 2： 由题意， a
x 1 x 1 ， a x ，当 x1 1 ln ln a 时， a 0 ， a 为 x 的增函数，即在 e ex e
e x2 e x1 0 x2 1 ae 1 ae x1
p (a) x2 x1
因为
x2 x x e x2 x1 ，所以 ( 2 ) (e x2 x1 ) e x2 x1 p (a) 0 ，故而 2 是 a 的减函数，即随着 a 的减 x1 x1 x1 x2 增大. x1