场强、电势的“比较”和“运算”——’08备考综合热身辅导系列山东平原一中 魏德田 2531000“电场强度”和“电势”是高中物理电学中两个最基本、重要的物理概念。

前者反映电场的力的性质，进而由于电场力对电荷（或带电物体）作用、做功，导致其运动状态、电势能等发生变化。

后者则反映电场的能的性质，进而由于电荷（或带电物体）在电场中不同位置存在的电势差，导致在电场内移动电荷时发生系统电势能的变化。

而运动学、动力学以及电场线、等势面、静电平衡等等知识的穿插、渗透，更使此类试题花样迭出、浩若烟海，成为高中物理中一道“亮线”。

下面仅就同一电场内各点“场强、电势（能）的比较” 和 “场强的合成与分解”两个问题，做些粗略而简要的分析。

一、破解依据欲解此类问题，大致应用以下几条依据。

㈠ 同一电场内各点“场强的比较”：⑴电场线 “密度大处场强大”；反之则小；“密度一致”，则场强“相等”。

⑵对带电体和直、交流电路，电荷面密度大处场强大；反之则小一些；⑶也可根据d U E rkQ E q F E AB ===、、2定量求解。

㈡同一电场内各点“电势（能）的比较”：⑴同一曲（或直）电场线上各点的电势，“沿电场线方向逐点降低”。

⑵正（或负）静止电荷仅受电场力作用时,必定移向电势低（或高）处；运动电荷则另作别论。

⑶电场力做正（或负）功，等于正电荷的电势（能）的减少（或增加），等于负电荷的电势能的减少（或增加）、电势的增加（或减少）。

亦即qq W B A AB B A εεϕϕ-==-所透露之意。

⑷直（或交）流电路中各点的电势，外电路“沿电流方向逐点降低”；内电路则“与此相反”。

㈢“场强的合成与分解”： ⑴“共线”点电荷场强的合成与分解,类似沿同一直线的力的矢量运算；“不共线”时，则应用平行四边形定则。

⑵均匀带电薄板的场强（见例题7），可采用“等效代换”法。

⑶大量“点电荷元”求其合场强，宜采用“累积法”。

注：除非特别说明，均不可忽略场强方向；电势的合成和分解，宜用代数加减法，讨论从略。

二、解题示例㈠场强、电势的比较 [例题1](’06上海)A 、B 是一条电场线上的两点,若在A 点释放一初速为零的电子,电子仅受电场力作用,并沿电场线从A 运动到B ，其速度随时间变化的规律如（图—1）图所示.设A.B 两点的电场强度分别为E A 、E B ,电势分别为U A 、U B ，则( )A.B A E E =B.B A E E <C.B A U U = A B OvD. B A U U <[解析]先判断A 、B 两点场强的大小。

从图—1可见，电子做匀加速直线运动；由牛二定律可知，它所受的电场力为恒力。

应用“依据”㈠-⑶（即场强定义式），可知场强必定为恒量。

故选项A 对B 错。

然后，由“依据”㈡-⑵或㈡-㈢可知，U A ＜U B 。

故选项C 错D 对。

因此,本例答案为:选A 、D.[例题2](’02春季高考)如图—2所示,在两个固定电荷+q 和-q 之间放入两个原来不带电的导体,1,2,3,4为导体上的四个点,在达到静电平衡后,各点的电势分别是4321ϕϕϕϕ、、、,则( )A.432ϕϕϕϕ>>>B.1234ϕϕϕϕ=>=C.1234ϕϕϕϕ<<<D.1234ϕϕϕϕ=<= [解析]首先，静电平衡态的导体是等势体，故知1、2和3、4分别为等势点，即4321,ϕϕϕϕ==。

图—3表示两导体上的“感应电荷”的电场线的大致分布情况，由“依据”㈡-⑴可得32ϕϕ<。

若从另一角度看，亦可忽略感应电荷对源电荷“叠加电场”的影响，那么该电场的电场线是从+q 指向-q 的，同理可得相同的结果。

因此，本例答案为：选B 。

[点拨] 此例为静电平衡状态下、导体上各点电势高低的比较问题。

值得强调，本例解答中，“忽略”感应电荷对叠加电场的影响，即属于一种“科学近似”。

而这种“近似处理法”，正是抽象思维方法在物理学中的重要应用。

从某种意义上说，没有对物理现象、物理过程的科学“抽象”和“概括”等等，就没有抽象思维。

[例题3](’04天津)电场中,将一电子从A 点移到B 点,电场力做了正功,则A.电场强度的方向一定是由A 点指向B 点B.电场强度的方向一定是由B 点指向A 点C.电子在A 点的电势能一定比在B 点高D.电子在B 点的电势能一定比在A 点高[解析] 一般说来，电子的运动轨迹为曲（或直）线，如图—4所示。

众所周知，当力对物体做正功时，力与速度成锐（或零度）角，本例即属此类。

在曲线运动中，物体速度方向是不断变化的。

由此可知，电场力方向与电子受力方向总是相反的，即场强可能存在多个方向。

故选项A 、B 均错。

由“依据”㈡-⑶，可得A 点的电势能比B 点的电势能高。

故选项C 对D 错。

因此，本例答案为：选C 。

[例题4](’06四川)带电粒子M 只在电场力作用下由P 点运动到Q 点,在此过程中克服电场力做了2.6×10-8J 的功.那么,( )A.M 在P 点的电势能一定小于它在Q 点的电势能B.P 点的场强一定小于Q 点的场强 A B F=-eE v 图—4 1 2 3 4 -q +q图—2C. P 点的电势一定高于Q 点的电势D.M 在P 点的动能一定大于它在Q 点的动能[解析]已知粒子M 只受电场力作用，并“克服”电场力做功，由“依据”㈡-⑶可知，其“电势能增加”，故判选项A 正确；我们不知题设电场力是恒力或变力，参考图—3来分析，我们也很难比较P 、Q 两点场强的大小（和方向），故选项B 错；由于粒子电性难明，由“依据”㈡-⑶知，我们不能判断P 、Q 两点电势的高低，故选项C 亦错；最后由动能定理可得，粒子在Q 点动能较小，那么选项D 也正确。

因此，本例答案为：选A 、D 。

[点拨]纵观例题3的求解过程，首先依据题意，作出电子在任意点受力、速度的示意图；然后，联系图内透露的信息和物理基本规律，把形象思维和抽象思维有机结合起来，即可使不易把握的问题得以顺利解决。

而例4呢，则借用了例3的解题成果。

[例题5][’04北京] 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如下图—5所示。

虚线表示这个静电场在xoy 平面内的一簇等势线，等势线形状相对于ox 轴、oy 轴对称。

等势线的电势沿x 轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。

一个电子经过P 点（其横坐标为-x 0）时，速度与ox 轴平行。

适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在ox 轴上方运动。

在通过电场区域过程中，该电子沿y 方向的分速度v y 随位置坐标x 变化的示意图是图—6中 （ ）[解析]根据场强与等势线（面）相互垂直，且等势线的电势沿x 轴正向增加，可粗略的描绘出该场的电场线分布以及电子在P 点的受力情况，分别如图—7、图—8所示。

其中，F 、F X 、F Y 分别为电子在P 点所受的电场力及其两个分力。

显然，在静电场中各个不同位置，电子所受电场力的大小和方向也各不相同；再由“运动的合成”可知，电子在水平向右方向做加速度先增大后减小、方向不变的非匀加速运动。

而电子竖直方向的加速度先减小后增大、方向往复，故它做变加速“类竖直上抛”运动。

由于“电子经过P 点（其横坐标为-x 0）时，速度与ox 轴平行”，故竖直分初速度为零，因而竖直分速度先增大后减小。

由于水平方向运动是变加速、加速运动，因而电子在左右两段相等位移上所用的时间不同——“左长右短”。

根据运动的“等时性”，可知当电子到达横坐标为x 0处时，竖直分速度不可能恢复为零。

因此，本例答案为：选D 。

[点拨]此例解答的特殊之处，在于先根据场强方向、等势线（面）的关系，作出直观、形象的电场线分布示意图；进而，分析电子在 “特殊点”P 的受力、运动情况；再融力学、电学知识为一炉，应用在变力作用下物体的运动规律予以解决。

图—6图—5图—7P v F=-eE F x F y 图—8㈡关于场强的合成[例题6]（’06全国）ab 是长为l 的均匀带电细杆，P 1、P 2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图—9所示。

ab 上电荷产生的静电场在P 1处的场强大小为E 1，在P 2处的场强大小为E 2。

则以下说法正确的是 （ ） A.两处的电场方向相同，E 1>E 2 B.两处的电场方向相反, E 1>E 2C.两处的电场方向相同，E 1<E 2D.两处的电场方向相反，E 1<E 2[解析]如图—10所示，C 点为细杆的中点。

先讨论P 1点的情形。

由于a P 1=P 1c =l /4,根据该段细杆上电荷分布的“对称性”，可知它们对P 1点场强E 1的贡献为零；场强E 1仅由bc 段电荷所产生。

选水平向右为坐标正方向，设bc 段电荷产生的场强为E bc ＜0，方向水平向左。

依题意可得①＞E E bc ------=01再看P 2点的情形。

由“依据”㈢-⑴可得②E E E cb ac ----+=2显然，E bc 、E ac 方向均为向右。

由于杆的ac 、cb 两段长度、电荷分布线密度均相等，因而 ④＞E ③E E E ac bc b c -----------=-=01 由①②③④四式，可得 112＞E E E E ac +=而E 2的方向水平向右。

显见，E 2与E 1方向相反。

因此，正确答案为：选D 。

[点拨]应该指出，确切的计算该电场的场强，中学阶段很难做到。

但是，在求解P 2点的场强时，我们采用笼统表示、等效代换加严密推导方法。

这一点，不仅对物理教学和解题指导，而且对其他学科的同类课题的讨论和研究，都有一定的借鉴意义。

[例题7](高考模拟)如图—11,带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d ,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心.若图中点a 处的电场强度为零,考虑到对称性, 电荷+q 与带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为_____,方向________.(静电力恒量为k )[解析]设均匀带电薄板、点电荷+q 分别在a 点产生的场强为E 0、E 1 ；再设水平向右为正方向。

由已知a 点的“合场强”为零，从而由“依据”可得②d kq E ①E E --------=-----=+211100 由①②两式可得210d kq E = 设“薄板”、点电荷+q 在b 点产生的场强分别为E 02、E 2，两者的合场强为E 。

根据“对称性”， E 02=－E 01，即两者场强的大小可“等效代换”。

同理可得 ④d kq E ③E E E --------=------=+-22201)3( 再由③④可得 2910dkq E -= “－”号说明该场强的方向水平向左。

[点拨]此例为原（’05上海）高考试题，稍加变化而成的“变形题”。