第四章 抽样分布
4.1 第四章的习题读者可以照常练习。
在这里，利用SAS 软件包中的“正态分布随机数函数”做一抽样试验，进行一个类似的演示。
假定总体平均数 μ ＝8，标准差 σ ＝2，用下式：Y ＝8＋2×正态分布随机数，获得一个服从N （8，22）分布的正态总体。
从该正态总体中随机抽取含量为100的样本，共抽取10 000个样本。
计算每一样本的s s y 和2,，然后计算样本平均数、样本方差和样本标准差的平均数(s s y ,,2)以及它们的标准差(s s y s s s ,,2)。
用上述结果与s s y 和2
,分布的特征数[分别见(4.1)，(4.2)式；(4.14)，(4.15)式以及(4.18)，(4.19)式] 比较。
看一看抽样的结果是否能够很好地估计总体参数。
抽样试验还可以进一步深入，计算每一样本的t 。
然后计算t 的平均数和标准差，用计算的结果与t 分布的特征数比较，[见(4.8)，(4.9) 式]。
看一看抽样的结果与总体参数的一致性是否很好。
为了与问题的要求一致，抽样分两部分进行，下面先讨论样本平均数、样本方差和样本标准差的分布。
SAS 程序如下：
options nodate;
data value;
n=100;
m=10000;
df=n-1;
do i=1 to m;
retain seed 3053177;
do j=1 to n;
y=8+2*normal(seed);
output;
end;
end;
data disv;
set value;
sqy=y*y;
by i;
if first.i then sumy=0;
sumy+y;
if first.i then sumsqy=0;
sumsqy+sqy;
my=sumy/n;
vacey=(sumsqy-my*sumy)/df;
stdy=sqrt(vacey);
if last.i then output;
run;
proc means mean var std;
var my stdy vacey;
title 'Sampling Distribution: Mu=8 sigma=2';
run;
程序运行的结果见下表：
Sampling Distribution: Mu=8 sigma=2
Variable Mean Variance Std Dev
-------------------------------------------------- MY 8.0005218 0.0394867 0.1987126
STDY 1.9949780 0.0204989 0.1431743
VACEY 4.0004341 0.3294953 0.5740169
--------------------------------------------------
下面将相应的参数值，列成一个对应的表格，以便能够在抽样的结果与总体参数间做一个很清楚地比较。
变量μσ2σ
Y8.000 0 0.040 0 0.200 0
S 1.995 0 0.020 2 0.142 0
2
从表中可以看出，样本统计量的抽样结果与总体参数基本上是一致的。
当样本含量继续增加，这种一致性会来得更好。
以下是问题的第二部分，这部分的程序与第一部分没有多大区别，完全可以与第一部分合并一起完成，读者可以尝试自己完成这项工作。
options nodate;
data value;
n=100;
m=10000;
df=n-1;
do i=1 to m;
retain seed 3053177;
do j=1 to n;
y=8+2*normal(seed);
output;
end;
end;
data disv;
set value;
sqy=y*y;
by i;
if first.i then sumy=0;
sumy+y;
if first.i then sumsqy=0;
sumsqy+sqy;
my=sumy/n;
vacey=(sumsqy-my*sumy)/df;
stdy=sqrt(vacey);
t=(my-8)*sqrt(n)/stdy;
if last.i then output;
run;
proc means mean std;
var t;
title 'Sampling Distribution: Mu=8 sigma=2';
run;
程序运行的结果见下表：
Sampling Distribution: Mu=8 sigma=2
Analysis Variable : T
Mean Std Dev
0.0021783 1.0050935
--------------------------
t分布的特征数：μt＝0.000 0，σt＝1.010 2。
抽样的结果与总体参数的一致性也是很好的。