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三判断对错（在括号内打×或√，在横线上说明错误原因，每题3分，
共18分，不说明错误原因不得分。
）
1.线性规划模型如果有最优解，则只能在可行域D极点上达到。
（×）如果存在多重解，其它点也能使目标函数达到最优。
2.把线性规划模型加入松弛变量或多余变量，目的是为了确定基本可行解
而构造单位矩阵。
（×）
目的是把约束条件方程的不等式变换为等式。
3.原问题最优解也可以从对偶问题的最优单纯形表中读出来。
（√）
4.用单纯形法求解时，检验数为零的变量一定是基变量。
（×）
如果模型存在多重最优解时，也存在非基变量的检验数为零。
5.运输问题的解可能会有唯一解、多重解、无界解、不可行解。
（×）
运输问题必定有最优解，有可能是唯一最优解，也有可能出现多重解。
6.对整数规划模型的非整数解用凑整方法处理后得到的解一定也是模型
的最优解（×）
凑整得到的解有时不是可行解，有时既使是可行解但不一定是最优解。
四简答题（共12分）
1.线性规划模型中所谓的“线性”主要指的是？（4分）
答：（1）目标函数是线性的函数形式，有可能是求最大值，如追求利润
最大，也有可能是求最小值，如追求成本最低。
（2分）
（2）约束条件方程组由线性的等式或线性的不等式组成，有≤、=、≥
三种形式。
（2分）
2.线性规划模型的c j灵敏度分析中，如果c j在允许的范围内变动时，目
标函数值是否也会发生改变？为什么？（8分）
答：（1）当c
j 对应的变量x
j
为非基变量时，最优解不会改变，目标函数值也不会改变，
因为尽管c
j 发生了变动，但作为非基变量x
j
的取值为0，所以目标函数中c
j
x
j
项的取值仍然为0。
（4分）
（2）当c
j 对应的变量x
j
为基变量时，最优解不会改变，但目标函数值可能会发生
改变，因为尽管基变量x j 没有改变，但c j 发生了变动，那么目标函数的c j x j 项取值就发生了变动，从而可能造成目标函数值变动。
（4分）
五 计算题（共30分）
1.（10分）有如下线性规划模型：
⎪
⎩⎪⎨
⎧≥≤+-≤-≤+-+=0
,33242..212121212
1x x x x x x x x t s x x z max 请用单纯形法求解并判断此模型解的情况。
解：将模型化为标准型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥=++-=+-=++-⨯+⨯+⨯++=5
,4,3,2,1,033242..0005214213
215
4321i x x x x x x x x x x t s x x x x x z max i 初始单纯形表如下：
迭代求解，得到如下单纯形表：
2于0，另外也没有其它非基变量可作为换入变量，所以此线性规划模型为无界解。
判卷标准：求解过程8分，出现错误适当扣分，模型解判定2分。
2.（10分）某公司需要把三个存储地A 1、A 2、A 3的货物运往三个销售地 B 1、B 、B 3，已知三个存储地A 1、A 2、A 3分别有货物7吨、4吨、9吨， 三个销售地B 1、B 、B 3分别需要货物3吨、6吨、5吨。
另外，如果剩 余货物，三个存储地A 1、A 2、A 3将分别收取单位存储费10、8、5。
从各工厂到销售地的单位产品运费如下表所示。
产销不平衡，虚拟一个销售点B4，令其销量b4=20-14=6。
求解的某一过程如下表所示：
请解决以下问题：
（1）求出所花费用最低的运输方案。
（7分）
解：计算出所有非基变量的检验数，并将求出的检验数填到综合表中对应的非基变量x ij的位置，
2424
上表没有负检验数，说明已经找到最优解。
最优运输方案为：
(x13,x14,x21,x24,x32,x34)=(5,2,3,1,6,3)
（2）在求出的最优运输方案下，支出的总费用为多少？运输费用为多少？存储费用为多少？（3分）
解：在最优运输方案(x13,x14,x21,x24,x32,x34)=(5,2,3,1,6,3)下，支出的总费用为：z=3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3=85。
运输费用为：3×5+1×3+4×6=42。
存储费用为：10×2+8×1+5×3=43。
（判卷标准：此过程每问1分）
3.（10分）某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需要
3万元。
设x1、x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量（在此假设产品小数），建立的线性规划模型如下：
0 ,12
416
4
8 2
.
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
≥
≤
≤
≤
+
+
=
x
x
x
x
x
x
t s
x
x
Z
Max
求解的最优单纯形表如下表所示：
由最优单纯形表可知，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量分别是4和2，那么获得的最大总利润就为z=2×4+3×2=14（万元）。
请解决以下问题：（1）如果将原材料A、B出让、设备出租，如何定价才能使所得收入不低于生产Ⅰ、Ⅱ两种产品所得的最佳利润？（2分）
（2）如果某商家给出设备租金0元、原材料A单位售价0元、原材料B单位售价2万元的方案，是否可以接受？为什么？（2分）（3）若把可用的设备台时由8增加到10，是否改变生产方案？如果改变，求出新的生产方案以及利润变化情况（6分）
解：
（1）通过最优单纯形表可读出对偶问题最优解，即设备租金为3/2，原材料A 售价为
1/8，而原材料B 的售价为0。
（判卷标准：此过程错一问扣1分）
（2）可以接受，因为总利润为2*12=24万元，高于基本利润14万元。
（判卷标准：此过程错一问扣1分）
（3）多增加设备台时，意味着对b 1的灵敏度分析，根据公式有：
Max{-2/(1/2)}≤△b 1≤Min {-4/(-2) },-4≤△b1≤2，即b 1的灵敏度范围为[4，10]。
（判卷标准：此过程2分）
多增加2个设备台时，即△b 1=2，在灵敏度范围内，新的解为：
X N =X O +△b 1*P 3’=[4 4 2]+2*[0 -2 1/2]=[4 0 3]
即新生产方案为Ⅰ产品生产量为4，Ⅱ产品生产量为3。
（判卷标准：此过程错3分）
新的最大总利润为：2*4+3*3=17，总利润会增加，增加了17-14=3万元。
或利用边际值可知q 1=|z 2+1|=3/2。
总利润会增加3/2*(10-8)=3万元。
（判卷标准：此过程1分）
六 建模题（5分）
4、6当中优先运4；货物1和3不能混装；货物2和5至少有一个运走。
请建立0-1规划模型。
解：设变量x i 表示装载第i 种货物，则有：
目标函数为 Max Z=3x 1+5x 2+2x 3+4x 4+2x 5+3x 6
8x 1+13x 2+6x 3+9x 4+5x 5+7x 6≤24 x 4≥x 6
x 2+x 5≥1 x 1+x 3≤1
x i =0或1，i=1,2,3,4,5,6
评分标准：设变量x i 为1分；目标函数为1分；
约束方程中每个方程为1分，若自然约束不写或写错扣1分。
i ,0 i 1,x i ⎩⎨⎧=种货物
不装载第种货物装载第。