( x)
(1 x2 )1/3 , ( x)
2 / [3(1
x2 ) 2/3 ]
2 1.6 / [3(1 1.32 )]2/3
（2）也收敛。 （3）
( x)
1/ x 1, ( x)
1/ [2( x 1)3 / 2]
1 2(1.6 1)3/2
k 5 6 7 8 9
1.0758287 1 ，故发散。
x8
设a
0.00003447
0, x0
2 xk ( xk
1 10 3 ,故可取 x* 2
2 3a) / (3xk
x9
1.466 。
0 ，证明迭代公式
xk
分析
1
a)
是计算 a 的三阶方法。 本题应说明 xk 的极限为 a，并且 lim ( xk
k 1
a) / ( xk
a )3
C ( 0) 才行。
关于第二件事也可按定理 3.3 来证（下文未给出该种证明） 。 证明 显然，当 a 0, x0 0 时， xk 0(k 1, 2, ) 。令
x*) / f ( x0 )
这样 所以
x*
x*
f ( x0 ) ( xn 1 xn ) f () f ( x0 ) xn 1 xn f ()
1
1 f ( x0 ) xn m
例 7-2 已知函数方程 ( x 之对任意初始近似 x0 求 xk
xn
（1）确定有根区间[a,b]； （2）构造不动点迭代公式使 2)e x 1， [a, b] ，迭代方法均收敛； （3）用所构造的公式计算根的近似值，要
sin x) / 4 ，对所有的 x，有 2 1 cos x) / 4 1 4 2
x 4
2 ln 2
x
4
2x
0 。设 f ( x)
x
2 x ，则 f (1)
2ln 2
0, f (2)
0 ，故有根
区间为[1,2]，题中 ( x)
4 2 , ( x)
1.38629 1 ，故不能用
xk
4 2 xk 来迭代。 把原方程改写为 x ln(4 x) / ln 2 ，此时， ( x) ln(4 x) ln 2 ， 1 1 1 1 1 ( x) 1 ，故可用迭代公式 4 x ln 2 4 2 ln 2 2ln 2 xk 1 ln(4 xk ) / ln 2
x
1, f (1)
0, f (1)
1 时 f(x)单减，故 f(x)=0 在 (
（2）将 ( x
,
) 内有具仅有一根 x * ，即 x* [2,3] 。
2)e x
1 等价变形为 x
( x)
2
e x , x [2,3] ，则，由于当
e
2
x [2,3] 时 2
故不动点迭代法 xk
1
3, ( x)
，对 x0
1 ，使
5
4.8x 0.51 1.141213562
2
0
1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562
曲线 y
2.4 x2 1.89 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿
1
迭代法求切点横坐标的近似值 xk 解 两曲线的导数分别为 y 令 f ( x)
3x 2
迭代法，得计算公式
xk
由于 f ( x) 表 7-6 k 0 1 2 继续计算仍得 x6 注 本题也可令 x
由于 ( x0 ) 越小，越快地收敛于 x * ，故取第（2）式来求根。计算结果如下： k 0 1 2 3 4 由于 x9 例 4-15
xk
1.5 1.48124803 1.47270573 1.46881731 1.46704797
xk
1.46624301 1.46587682 1.46571024 1.46563446 1.46559999
（2）C 取何值对收敛最快？
1 1 ，计算 ( x) 的不动点 2 ，要求 , 2 2 2 xk 1 xk 10 5
x C( x2 2), ( x) 1 2Cx ，根据定理 7.3 当
解（1） ( x)
4
( 2)
1 2 2C
1 ，亦即
1 2
C
0 时迭代收敛。
0 ，即 C
（2）由定理 7.4 知，当 ( 2) 敛的，收敛最快。 （3）分别取 C 表 7-4 k 0 1 6 12 13 此时都达到 xk 例 7-8
例 4-2 证明 1
x sin x
使用二分法求误差不大于 0 在[0,1]内有一个根，
1 10 4 的根要 2
迭代多少次？ 解答 设 f ( x)
f ( x)
xk
2
k
1 x sin x ，则 f ( x) 1 0, f (1) sin1 0 ；又因 1 cos x 0, x [0,1] ，故..在[0，1]上单减，因此 f(x)在[0,1]上有且仅有一个根。
0 要求
0, f (2) 0 ，故应取
xk
10 6 。
0 在（1，2）内有一个根，且 f ( x)
解答 由上题知， f ( x)
x0
2 ，利用牛顿迭代公式 xk 1 xk f ( xk ) / f ( xk ), k xk
1 1.6 1.383388704 ,故取 x*
0,1, 2,
k 3 4 5
计算结果如下： k 0 1 2
x5 3.347529903 0.136323129 0 ，故根据定理 7.4 知方法是线性收敛的，并有
ek 1 ek
( x*) .。
对于迭代函数 ( x)
1
例 7-4
x
C( x2
2) ，试讨论：
（1）当 C 为何值时， xk （3）分别取 C
( xk )(k
0,1, 2, ) 产生的序列 xk 收敛于 2 ；
例 7-3 考虑求解方程 2cos x
3x 12
0 的迭代公式
2 xk 1 4 cos xk , k 3 （1）试证：对任意初始近似 x0
（2）取 x0 （3）所给方法的收敛阶是多少？
0,1, 2,
R ，该方法收敛；
1
4 ，求根的近似值. xk
xk
4
10 3 .；
2 cos x, x ( 3 , ) 。由于 ( x) 的值
x （2） x 4 2 。 sin x) / 4 ； 分析 判断方程 x ( x) 能否用迭代法求根，最关键的是 ( x) 在根的附近能否满足 ( x) I 1 。因此可用该条件来判断。
（1） x
(cos x
解答
（1） ( x)
(cos x
( x)
故能用迭代法求根。 （2）方程为 x
( sin x
解（1）由迭代公式知，迭代函数 ( x) 域介于 4
2 与 4 3
2 之间，且 3 ( x) 2 2 sin x 1 3 3 , ) 内存在惟一的不动点 x*，且对 x0
故根据定理 7.1,7.2 知 ( x) 在 ( 式得到的序列 xk 收敛于 x*。 （2）取 x0 表 7-3 k 0 1 2 3 4 5 此时 x5 已满足差要求，即 x* （3）由于 ( x*) 有. lim
x
简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。
x
f ( x) / f ( x0 ) ，则 ( x)
L 1 （在 x*的邻域内）是
xn
1
xn
即 解得
f ( xn ) / f ( x0 ) 收敛的一个充分条件，
1
f ( x) / f ( x0 )
L 1
1 1 L 1 ,使对任何 x [a, b] 上式都能成立的话，单调
k
R ，迭代公
4 ，迭代计算结果如表 7-3 所示。 xk
4 3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.347529903
xk
xk
1
0.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481
xk
xk
10 5 。
3x 2
0.51 和 y
4.8x ，两曲线相切，导数相等，故有
4.8x 0.51 ，则 f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是 f(x)=0 的有根区间，又当 x [1, 2] 时， f ( x) 6 x 4.8 0 ，因此 f(x)=0 在[1,2]上有惟一实根 x*
2
e
xk
,k
0,1, 2,
[2,3] 均收敛。
3
（3）取 x0
2.5 ，利用 xk
1
2
e
xk
进行迭代计算，结果如表 7-2 所示 .. 0.417915001 0.042585005 0.0058197617 0.000622589
xk k 0 2.5 1 2.082084999 2 2.124670004 3 2.119472387 4 2.120094976 此时 x4 已满足误差要求，即 x* x4 2.120094976 。
xk
1.368869419 1.368808109 1.368808108
x5
1.368808108 。
注记 由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛 顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言， 当牛顿法中 f ( xk ) 的计算量超过 f ( xk ) 的计算量的 44%时，双点弦割法的总计算时间较牛 顿法的少，见参考文献 7. 例 4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的 形式。