(2)[2012· 浙江卷] 如图5－15－1所示，F1，F2分别是双 x2 y2 曲线C： 2 － 2 ＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点， a b 直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂 直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 ( )
预计 2013 年对该部分考查的基本方向不会有大的转折， 会在选择题或者填空题中考查圆锥曲线的定义、方程和简单 几何性质的应用，在解答题中综合考查圆锥曲线与方程．但 也要注意到新课标对双曲线和抛物线的要求在降低，三大圆 锥曲线中更突出椭圆，还有部分省份，比如安徽，在圆锥曲 线问题中避免用判别式韦达定理来处理，而是直接用整体运 算来支撑整个题目、减小运算量． 复习建议：高考试题中解析几何的解答题一般具有一定 的难度，学生也畏惧解答解析几何试题，但解析几何试题的 特点是思路清晰，运算困难，因此在复习该讲(以及下一讲) 时，要在学生掌握好基础知识和基本方法的前提下，注重运 算技巧的点拨、注重运算能力的培养．
[答案] C
[解析] 如图，设A(x0，y0)(y0<0)．易知抛物线y2＝4x的焦 点为F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1，故由抛物线的定义 得|AF|＝x0－(－1)＝3，解得x0＝2，所以y0＝－2 2，
－2 2－0 故点A(2，－2 2)．则直线AB的斜率为k＝ ＝－ 2－1 2 2 ，直线AB的方程为y＝－2 2 x＋2 2 ，联立 y＝－2 2x＋2 2， 2 消去y得2x2－5x＋2＝0，由x1x2＝1， y ＝4x， 1 得A，B两点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为 .再由抛物 2 1 3 3 9 BF ＝ － －1 ＝ ， AB ＝ AF ＋ BF ＝3＋ ＝ . 线的定义得 2 2 2 2 2 2 1 9 又因为点O到直线AB的距离为d＝ ，所以S△AOB＝ × 3 2 2 2 2 3 2 × ＝ . 3 2
3 2 x2 y2 (2)函数 y＝ 3－ x 可变为 ＋ ＝1(y≥0)， (1,0)为椭圆的右 4 4 3 焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为 3 和 1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最 小，末项最大即可，所以公比最大值为 3，要使等比数列公比 3 最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为 . 3
►
探究点二 圆锥曲线的几何性质
x2 y2 例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 设 F1，F2 是椭圆 E： 2＋ 2＝ a b 3a 1(a>b>0)的左，右焦点，P 为直线 x＝ 上一点，△F2PF1 是底 2 角为 30° 的等腰三角形，则 E 的离心率为( ) 1 2 A. B. 2 3 3 4 C. D. 4 5
► 探究点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 [2012· 安徽卷] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交 该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( ) 2 A. B. 2 2 3 2 C. D．2 2 2
[思考流程] (分析)欲求三角形面积需知三角形的结构 ⇨ (推理)根据|AF|＝3和抛物线的定义可确定点A的坐标，进而可 确定直线AB方程或者点B坐标 ⇨ (结论)求出解三角形面积需 要的量即可．
那么可得线段PQ的中点坐标为
2 2
c b (x
c －3c)并整理可得2c ＝3a ，可得e＝a＝
3 6 ＝ ，故应选B. 2 2
[点评] 求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于 a，b，c的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a，b，c的 关系，求出所求的椭圆、双曲线中a，c之间的比例关系，根 据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，则需要建立 关于a，c的不等式(下面的变式(1))．
x2 y2 变式题 (1)若双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)与直线 y＝ 3x a b 无交点，则离心率 e 的取值范围为( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(1， 5) D．(1， 5] 3 2 (2)函数 y＝ 3－ x 的图象上至少存在不同的三点到(1,0) 4 的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．
圆锥曲线的定义与标准方程 x2 y2 例1 [2012· 湖南卷] 已知双曲线C： 2 － 2 ＝1的焦距为 a b 10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( ) x2 y 2 A. － ＝1 20 5 x2 y2 B. － ＝1 5 20 x2 y 2 C. － ＝1 80 20 x2 y 2 D. － ＝1 20 80
[点评] 简单的直线与圆锥曲线位置关系的问题可以通过 求解交点坐标等方式解决，而不必过度依赖一般方法．在抛 物线中过焦点的直线是一个特殊情况，它具有许多性质，其 中最基本的是焦点弦的两个端点横坐标之积、纵坐标之积都 为定值．
变式题 过抛物线 y2＝2px 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．不确定 D．钝角三角形
►
探究点一
[思考流程] (分析)欲求双曲线方程需确定系数a，b ⇨ (推 理)焦距确定一个a，b的方程，点P在渐近线上确定一个a，b的 方程 ⇨ (结论)解方程组得之．
[答案] A
由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝ b 1 1 b 25，排除C，D，又由渐近线方程为y＝ a x＝ x，得 ＝ a ，解 2 2 得a2＝20，b2＝5，所以选A. [解析]
[点评] 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条 件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注意在 椭圆中c2＝a2－b2，在双曲线中c2＝a2＋b2.圆锥曲线基本问题 的考查的另一个重点是定义的应用，看下面变式．
x2 y2 y2 2 变式题 (1)设椭圆 ＋m＝1 和双曲线 －x ＝1 的公共 2 3 焦点分别为 F1， 2， 为这两条曲线的一个交点， F P 则|PF1|· 2| |PF 的值等于( ) A．3 B．2 3 C．3 2 D．2 6 (2)设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上 → → → → → → 三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( ) A．9 C．4 B．6 D．3
图5－15－1 2 3 A. 3 6 B. C. 2 D. 3 2
[思考流程] (1)(分析)欲确定椭圆离心率需确定a，c关系 ⇨ (推理)画出图形，确定图形中角的大小以及图形反映的数 量关系得方程确定之 ⇨ (结论)根据离心率定义求得结果； (2)(分析)欲求双曲线的离心率需确定a，c的关系 ⇨ (推 理)写出F1B的方程和双曲线渐近线方程可得P，Q坐标，进而 可得PQ的中垂线方程和PQ的中点坐标，将中点坐标代入中 垂线方程即可确定a，c关系 ⇨ (结论)按照离心率定义求之．
专题五
平面解析几何
第15讲 圆锥曲线的定义、方程
与性质
考点统计
考点 1 圆锥曲线的 定义与标准方程 考点 2 圆锥曲线的 几何性质 考点 3 直线与圆锥 曲线的位置关系
题型(频率)
选择(2) 填空(2) 解答(4) 选择(3) 解答(1) 选择(1) 填空(2) 解答(3)
考例(难度)
2012 广东卷 20(1)(B)，2012 陕西卷 4(B)，2012 陕西卷 13(B) 2012 课程标准卷 4(A)，2012 安徽卷 9(B) 2012 课程标准卷 8(B)，2012 课程标准 卷 20(B)，2012 北京卷 12(B)
1.椭圆 画出椭圆的图象，标出F1，F2，a，b，c，回顾椭圆的定义，两种形式 的标准方程，a，b，c的关系． 椭圆的简单几何性质：顶点坐标，焦点坐标，a，b，c的范围，离心率 的范围，图象的对称性． 2．双曲线 画出双曲线的图象，标出F1，F2，a，b，c，回顾双曲线的定义，两种 形式的标准方程，a，b，c的关系． 双曲线的简单几何性质，顶点坐标，焦点坐标，a，b，c的范围，图象 的对称性，离心率的范围，渐近线方程． 3．抛物线 画出抛物线的图象，标出F，回顾抛物线的定义，四种形式的标准方 程，焦参数p的几何意义． 抛物线的简单几何性质：顶点坐标，焦点坐标，离心率的值，准线的方程.
[答案] (1)B
(2)
3 ， 3 3
b [解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为 y＝± x， a 要使直线 y ＝ 3x 与双曲线无交点，则直线 y＝ 3x，应在两渐近线之间， b 所以有 a ≤ 3，即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2 ，c2 －a2≤3a2 ，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1<e≤2，选 B.
说明：A 表示简单题，B 表示中等题，C 表示难题． 频率为分析 2012 各省市课标卷情况．
命题角度：该部分的命题主要围绕两个点展开．第一个点 是围绕圆锥曲线与方程本身的知识展开，命题考查求圆锥曲线 的方程、求椭圆或者双曲线的离心率以及简单的直线与圆锥曲 线交汇的试题，目的是有针对性地考查对圆锥曲线基础知识和 基本方法的掌握程度，试题一般是选择题或者填空题；第二个 点是围绕圆锥曲线与方程的综合展开，命题以圆锥曲线为基本 载体，综合直线、圆等知识的综合性试题，目的是全面考查对 解析几何的知识和方法的掌握程度，考查综合运用解析几何的 知识和方法分析问题、解决问题的能力，这类试题一般是解答 题，而且往往是试卷的压轴题之一，具有一 y＝－bx a
联立解得点P的坐标为
ac bc － ， a＋c a＋c，
b y＝c x＋b， 由 y＝bx a
ac bc 联立解得点Q的坐标为c－a，c－a， a2c c2 2 ， ，代入y＝－ b b
[答案] (1) C
(2)B
[解析] (1)根据题意，一定有∠PF1F2＝30° ，且∠PF2x＝ 3 60° ，故直线PF2的倾斜角是60° ，设直线x＝ a与x轴的交点为 2 M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，所以|F1F2|＝2|F2M|.所 3 c 3 a－c，即4c＝3a，故e＝ ＝ .故选C. 以2c＝2 2 a 4 b (2)依题意得直线F1B的方程为y＝ c x＋b，那么可知线段 c PQ的垂直平分线的方程为y＝－b(x－3c)，