.命题逻辑一、选择题（每题3分）1、下列句子中哪个是命题？(C)A、你的离散数学考试通过了吗？ B 、请系好安全带！C、是有理数 D 、本命题是假的2、下列句子中哪个不是命题？(C)A、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家C、我说的是真话 D 、淮海工学院是一座工厂3、下列联接词运算不可交换的是(C)A、B、 C 、 D 、4、命题公式P Q不能表述为(B)A、P或Q B 、非P每当QC、非P仅当Q D、除非P，否则Q5、永真式的否定是(B)A、永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、以上答案均有可能6、下列哪组赋值使命题公式P(P Q)的真值为假(D)A、P假Q真B、P假Q假C 、P真Q真D、P真Q假7、下列为命题公式P (Q R)成假指派的是(B)A、100 B 、101 C 、110 D 、1118、下列公式中为永真式的是(C)A、P(PQ)B、P (PQ)C、(PQ) QD、(PQ)Q9、下列公式中为非永真式的是(B)A、(P P) QB、(P P) QC、P(P Q)D、P(PQ)10、下列表达式错误的是(D)A、P(PQ) P B 、P(PQ) PC、P(PQ)PQ D 、P(PQ)PQ11、下列表达式正确的是(D)A、PPQB、PQPC、Q (P Q)D、(PQ)Q12、下列四个命题中真值为真的命题为(B)（1）2 2 4当且仅当3是奇数（2）2 2 4 当且仅当3不是奇数；（3）2 2 4当且仅当3是奇数（4）2 24当且仅当3不是奇数A、（1）与（2） B 、（1）与（4）C、（2）与（4） D 、（3）与（4）13、设P：龙凤呈祥是成语，Q：雪是黑的，R：太阳从东方升起，则下列假命题为(A)A、P Q R B 、Q P S C、P Q R D 、Q P S14、设P：我累，Q：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ）A、PQ B 、P Q C、PQ D、P Q15、设P：我听课，Q：我睡觉，则命题“我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为(B)A、PQ B 、P QC、PQ D、P Q提示：(P Q) P Q16、设P：停机；Q：语法错误；R：程序错误，则命题“停机的原因在于语法错误或程序错误”的符号化为（ D）A、PQRB、P QRC、QRPD、QRP17、设P：你来了；Q：他唱歌；R：你伴奏则命题“如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而的符号化为（D ）定”A、P(QR)B、P (QR)C、P(R Q)D、P(Q R)18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（A）A、存在并且唯一B、存在但不唯一C、不存在 D 、不能够确定..19、在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（A）A、存在并且唯一B、存在但不唯一C、不存在 D 、不能够确定20、n个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ D ）A、n B 、2n C 、n2 D 、2n21、n个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ D ）A、n B 、2n C 、n2 D 、2n二、填充题（每题4分）1、设P：你努力，Q：你失败，则“虽然你努力了，但还是失败了”符号化为PQ.2、设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质，则“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为S PQR.3、一个命题含有n个原子命题，则对其所有可能赋值有2n种.4、推理规则A (A B) B的名称为假言推理.5、推理规则6、推理规则7、推理规则B (A B) A的名称为拒取式.A (A B) B的名称为析取三段论. (A B) (B C)AC的名称为前提三段论.8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.9、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为 1.10、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0.11、n个命题变元可构造包括F的不同的主析取范式类别为22n.12、n个命题变元可构造包括T的不同的主合取范式类别为22n.三、问答题（每题6分）1、设A、B是任意命题公式，请问A B,A B分别表示什么？其有何关系？答：A B表示A蕴含B，A B表示A永真蕴含B；其关系表现为：若 A B为永真式，则有A B.2、设A、B是任意命题公式，请问A B,A B分别表示什么？其有何关系？答：A B表示A等值于B，A B表示A与B逻辑等价；其关系表现为：若 A B为永真式，则有A B.3、设A、B、C是任意命题公式，若 A C BC ，则A B成立吗？为什么？答：不一定有A B；若A为真，B为假，C为真，则A C B C成立，但A B不成立.4、设A、B、C是任意命题公式，若 A C BC ，则A B成立吗？为什么？答：不一定有A B；若A为真，B为假，C为假，则A C B C成立，但A B不成立.5、设A、B是任意命题公式，A(A B) B一定为真吗？为什么？答：一定为真；因 A (AB) B A( AB) B (A A) (AB) BF (AB) B A BB T.（用真值表也可证明）6、设A、B是任意命题公式，(A B) (A B) A一定为真吗？为什么？答：一定为真；因(A B) (A B) ( AB) ( A B) A (B B)A F A.（用真值表也可证明）..四、填表计算题（每题10分）1、对命题公式A(p q)(p q)，要求（1）用0 1或填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式.解：p q pq (pq) pq A0 0 10 000 1 10 101 0 0 1 1 11 1 10 10主析取范式A (2) ；主合取范式A (0,1,3).2、对命题公式A(p q)r，要求（1）用0 1或填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式.解：p q r pq A0 00 100 0 1 1 10 10 100 1 1 1 11 00 0 11 0 1 001 10 101 1 1 1 1主析取范式A (1,3,4,7) ；主合取范式A (0,2,5,6).3、对命题公式A(pq) (pr)，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式.解：p q r pq pr A0 0 0 0000 0 1 0000 1 0 0000 1 1 0001 0 0 0001 0 1 0111 1 0 101..1 1 1 1 1 1主析取范式A (5,6,7)；主合取范式A (0,1,2,3,4).4、对命题公式A (pq)(pr)，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式.解：p q r p pq pr A0 0 0 1 0 100 0 1 1 0 100 1 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 001 0 1 0 1 1 11 1 0 0 1 001 1 1 0 1 1 1主析取范式A (2,3,5,7) ；主合取范式A (0,1,4,6).5、对命题公式A( p q) r，要求（1）用0 1或填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式.解：p q r p q pq A0 0 0 1 1 1 00 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 00 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 1 01 0 1 0 1 1 11 1 0 0 00 11 1 1 0 00 1..主析取范式 A (1,3,5,6,7) ；主合取范式 A (0,2,4).五、证明题（每题10分）1、证明下列逻辑恒等式：(P Q)(R Q) (P R) Q.证明：左(PQ)(RQ) (P R)Q(P R) Q P R Q 右.（用真值表也可证明）2、证明下列逻辑恒等式：P Q R R Q P.证明：左(P Q) R P Q RR(QP) R Q P 右.（用真值表也可证明）3、证明下列逻辑恒等式：P Q P Q PQ.证明：左P Q P Q P Q PQPQPQ PP PQQPQQPQ P Q P Q P Q 右.（用真值表也可证明）4、用逻辑推理规则证明：(a b) c ， d ， c d a b.证明:(1) c d P(2)d P(3) c T(1),(2)(析取三段论)(4)(a b) c P(5)(a b) T (3)，(4)(拒取式)(6)a b T (5)(德.摩根律).5、用逻辑推理规则证明：p q,p s,s r r q.证明:(1) p s P(2)s r P(3)p r T (1),(2)( 前提三段论)(4)r p T(3)( 逆反律)(5)pq P(6)p q T (5)( 蕴含表达式)(7)r q T(4)，(6)( 前提三段论).6、用逻辑推理规则证明：p q，p r，q r，r，sp s.证明:(1) r P(2) qr P(3) q T (1),(2)( 析取三段论)(4) p q P(5) p T (3) ，(4)( 拒取式)(6) s p P(7)s T (5)，(6)( 析取三段论).7、用逻辑推理规则证明：(p q) (r s)，(q p) r，r pq. 证明:(1) r P(2(q p) r P)(3) q p T (1),(2)( 析取三段论) (4) r s T(1)( 加法式)..(5) (p q) (r s)P(6) p q T(4) ，(5)(拒取式)(7) (p q) (q p) T(3)，(6)(合取式)(8) p q T(7)( 等值表达式).8、用逻辑推理规则证明：s p, p rq, r sq. 证明:(1) s P(2) s p P(3) p T(1),(2)(析取三段论)(4) p r q P(5) r q T(3) ，(4)( 假言推理)(6) q T(5) （简化式）(7) s q CP.9、用逻辑推理规则证明：(p q) r (pq) r证明：(1) p q P( 附加前提)(2) p T(1)（简化式）(3) p q T(2)（加法式）(4) (p q) r P(5) r T(3),(4) （假言推理）(6)(pq)r(pq)rCP.10、用逻辑推理规则证明：p q, qr,r s p s.证明：（1）p P(附加前提)(2) p q P(3) q T (1) ，(2)( 析取三段论)（4）q r P(5) r T (3) ，(4)( 析取三段论)(6) r s P(7) s T(5) ，(6)（假言推理）(8) p s CP.11、用逻辑推理规则证明：(pq) (r s)，(r s) t p t. 证明：（1）p P(附加前提)(2) p q T(1) （加法式）(3) (p q)(r s) P(4) r s T (2)，(3)（假言推理）(5) r T(4) （简化式）(6) r s T (5)（加法式）(7) (r s)t P(8) t T (6) ，(7)（假言推理）(9) p t CP.12、用逻辑推理规则证明：(t w) s,q s,t s q t证明：（1）q P( 附加前提)(2) q s P(3) s T(1) ，(2)( 析取三段论)(4) (t w) s P(5) (t w) T(3)，(4)( 拒取式) ..(6) ( t w)(7)tw(8)t(9)qt T(5)( 蕴含表达式) T(6)(德.摩根律)T(7)( 简化式) CP.、用逻辑推理规则证明：a b c ，(e f) c，b (a s)be.13证明：（1）b P(附加前提)（2）b (a s) P(3) a s T(1) ，(2) （假言推理）(4) a T(3)( 简化式)(5) a b c P(6) b c T (4) ，(5)（假言推理）(7) c T (6)(简化式)(8) (e f) c P(9) (e f) T (7) ，(8)( 拒取式)(10) ( e f) T(9)( 蕴含表达式)(11) e f T(10)( 德.摩根律)(12) e T (11)( 简化式)(13) b e CP.14、用逻辑推理规则证明：p q，p q q.证明：(1) q P(附加前提)(2) p q P(3) p T(1),(2)( 拒取式)(4) p q P(5) q T(3),(4)( 假言推理)(6) q q T(1),(5)( 合取式)由（6）得出矛盾式，故原命题有效.15、用逻辑推理规则证明：p q ，(p q)(t s) t s.证明:（1）(ts)P (附加前提)(2)(p q) (t s) P(3) (p q) T(4) (( pq) (p q))T(5) (p q)(p q) T(6) ( p q) (p q) T(7) p q T(8) (p q) T(9)p q P (1),(2)( 拒取式)(3)（等值与蕴含表达式）(4)(德.摩根律)(5)(结合律或范式等价).(7)(简化式)(4)(德.摩根律)(10) (pq)(p q) T(9),(10)( 合取式)由（10）得出矛盾式，故原命题有效.16、用逻辑推理规则证明：p q，p r，(q r)不能同时为真.证明：(1) p r P(2)p T(1)( 简化式)(3)p q P(4)q T(2),(3)( 假言推理)(5)(q r) P..(6)q r T(5)( 德.摩根律)(7)q T(6)( 简化式)(8)q q T(4),(7)(合取式)由（8）得出矛盾式，故原命题有效.17、证明下列命题推得的结论有效：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学 .因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学.证明：设p：逻辑难学；q：有少数学生不喜欢逻辑学；r：数学容易学.该推理就是要证明：p q,r p q r.(1) p q P(2) p q T(1)( 蕴含表达式)(3) r p P(4) r q T (2),(3)( 前提三段论)(5) q r T (4)(逆反律).18、证明下列命题推得的结论有效：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验；如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验；今天是星期三且离散数学老师有事.所以，我有一次数字逻辑测验.证明：设p：今天是星期三；q：我有一次离散数学测验；r：我有一次数字逻辑测验；s：离散数学课老师有事.该推理就是要证明：p (q r),s q,p s r.(1) p s P(2) p T (1)(简化式)(3) s T (1)( 简化式)(4) s q P(5) q T (3) ，(4) （假言推理）(6) p(q r) P(7) q r T(2) ，(6)（假言推理）(8) r T (5) ，(7)( 析取三段论).19、证明下列命题推得的结论有效：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑.所以，羊不吃草。