函数知识结构图
设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A→B为从集合A 到集合 B 的一个函数，记作
y = f (x )①
增函数与减函数：定义：对于函数f(x)的
定义域 I 内某个区间上的任意两个自变
量的值x1,x2，
（1）若当x1 < x2时，都有f(x1) < f
(x2) , 则说f(x)在这个区间上是增函数。
（2）若当x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2) , 则说f(x)在这个区间上是减函数。
⑧
单调性（1）函数最大值首先应该是
某一个函数值，即存在
x0∈ I ，使得 f (x0)= M ；
（2）函数最大值应该是所有最函数值中最大的，即对于任
值意的x∈I，都有f(x)≤M⑨
②区间表示集合：
[a,b]，（a,b）
函数的基本性[a，b) ,(a，b]，
质
(- ∞ ,+ ∞ )
(-∞, a) ⋃(b, +∞)
函函数
一个函数的构成数及
要素为：定义域，
其
对应关系和值域。
表
如果两个函数的映射定义域相同，并且示
对应关系完全一
致，这两个函数相
定义域
等。
③
和值域函数的表示法奇偶性
对于定义域内任意一
个x，都有（1）f
(-x)=f(x)，
那么函数f(x)就叫
做偶函数；偶函数图
象关于 y 轴对称。
（2）f(-x)= -f(x)，
那么函数f(x)就叫
做奇函数；奇函数图
象关于原点对称。
⑩
x的取值范
围叫做函数
y= f ( x)的
定义域；④
函数值y 的集合叫做函数 y=f(x) 的值域。
⑤解析法：用数学表达
式表示两个变量之间
的对应关系。
图象法：用图象表示
两个变量之间的对应
关系。
列表法：列出表格来
表示两个变量之间的
对应关系。
⑥
设A,B是非空的数集，如果按
某一个确定的对应关系f，使
对于集合A中的任意一个数
x ，在集合B中都有唯一确定
的元数y和它对应，那么称对
应f:A→B为从集合A
到集合B的一个映射。
⑦
m (
)
①基本初等函数
正分数指数幂a n=n a m a >0, m, n ∈ N *, n >1；
m 1
m= 1 (a >0, m, n ∈ N *, n > 1) 知识结
负分数指数幂a-n=
a n n a m
0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义．
指数函函数y=a x(a>0且a≠1)
指数与叫做指数函数，其中x是
数
指自变量，函数定义域是R
数幂运指数函②
幂函数
y = xα 指数函数
( α为幂函数
基本初等函数
y = a x(a >0且a ≠1)
的图象和性质③
常数)
⑦
对数函数对数函数的定义：⑤
幂函数函数y=log a x(a>0且a≠
1)
的图象
对数函
和性质叫做对数函数；
对数与数
⑧
对及其性
对数函数
数运算
y =log a x (a >0且a ≠1)
（1）负数与零没有对数
（2）log a1=0，log a a=1 （3）对数恒等式：a log a N=N （4）常用对数：log10N简记作 lgN （5）自然对数：log e N简记作 lnN
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0，
N > 0 有：
log a (MN) = log a M + log a N (1)
log M = log M - log N (2)
a N a a
log a M n= nlog a M(n ∈ R) (3)
的图象和性质：⑥
对数换底公式：
log a N=
log
m
N
log m a
(a > 0 ,a ≠ 1 ，
m > 0 ,m ≠ 1,N>0)
两个常用的推论:①log a b⋅log b a=1，② log a m b n=m
n
log a b
（a, b > 0且均不为1）
③ y=a x(a>0且a≠1)的图象和性
质
a>1 0<a<1
图
象
1 1
0 0
(1)定义域：R
性（2）值域：（0，+∞）
质（3）过点（0，1），即 x=0 时，y=1
（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数⑥对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象和性
质
a>1 0<a<1
图
1 1
象0 1 0 1
定义域：（0，+∞）
值域：R
性过点（1，0），即当 x=1 时，y=0
质
x ∈(0,1)时 y <0 x ∈(0,1)时y >0
x ∈(1,+∞)时 y >0 x ∈(1,+∞)时 y <0
在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数⑧幂函数图象和性质：
y = x y = x2 y = x3
1
y = x-1 y = x2
定义域R R R {x | x ≥0} {x | x ≠0} 值域R {y | y ≥0} R {y | y ≥0} {y | y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇偶奇
单调性增
(-∞, 0)减
增增
(-∞, 0)减[0, +∞)增(0, +∞)减
公共点（1，1）
函数的应用结构图
函数的应用几类不同增长的函
数模型：对数函数
方程f(x)=0 有实根等价于函数y=f(x) 的图象与x轴有交点等价于y = f (x)有零点。
①
函数与方程函数模型
零点存在性定
二分法
判断函求函数
理：函数
数零点的零点：
y = f (x)在区间
个数或[a, b] 上连续有应用零
零点所 f (a) f (b)<0，点存在
在区间函数y=f(x)在性定理
②区间(a,b)内有不断使
零点区间逼
③近零点。
y =log a x (a >1)，
指数函数
y = a x(a >1)，幂函
数y=x n(n>0)在
区间上(0.+∞)都
是增函数，但这三
类函数的增长速度
是不同的，随着 x
的值不断增大，指
数函数的增长速度
大于幂函数，幂函
数的增长速度大于
对数函数。
⑤。