文章编号：1006-7043（2000）04-0021-03基于小波变换的去噪方法林克正李殿璞（哈尔滨工程大学自动化学院，黑龙江哈尔滨150001）摘要：分析了信号与噪声在小波变换下的不同特点，提出了基于小波变换的去噪方法，且将该去噪算法用算子加以描述，给出了具体实例.小波变换硬阈值去噪法和软阈值去噪法的性能比较及仿真实验，表明基于小波变换的去噪方法是非常有效的.!关键词：小波变换；去噪；奇异性检测；多尺度分析中图分类号：TN911.7文献标识码：ADenoising Method Based on Wavelet TransformLin Ke-zhengLi Dian-pu（Automation Coiiege ，Harbin Engineering University ，Harbin 150001，China ）Abstract ：This paper anaiyzes the different characteristics of noise and signai under waveiet transform and proposes the denoising method based on waveiet transform.The denoising aigorithm based on waveiet transform are described with some operators.Some exampies are demonstrated.The performance of denoising with hard and soft threshoid method based on waveiet transform are compared in computer simuiation.The simuiation shows that the denoising method based on waveiet transform is very effective.Key words ：waveiet transform ；denoising ；singuiarity detection ；muitiresoiution anaiysis提取掩没在噪声中的信号是信号处理的一项重要课题.实际的信号总是含有噪声的，当待检测信号的输入信噪比很低，各种噪声幅值大、分布广，而干扰信号又与真实信号比较接近时，用传统的时域或频域滤波往往不能取得预期效果.D.L.Donoho 提出的非线性小波方法从噪声中提取信号效果最明显［2-5］，并且在概念上也有别于其它方法，其主要思想有局部极大值阈值法、全局单一阈值法［3］和局部SURE 多阈值法［4］.在此基础上，本文首先分析了信号和噪声在小波变换下的不同特性，据此可有效地从噪声信号检出有用的信号，用算子的形式对基于小波变换的去噪方法进行了统一的描述，并提出了一种可浮动的自适应阈值选取方法.1小波分析基础1.1信号的小波变换［1］设母波函数是!（t ），伸缩和平移因子分别为a 和6，小波基函数!a ，6（t ）定义为!a ，6（t ）=1!a !（t -6a ）（1）式中，6"R ，a "R -｛0｝.函数f （t ）" 2（R ）的小波变换W a ，6（f ）定义为W a ，6（f ）=<f （t ），!a ，6（t ）>=1!a #-f （t ）!（t -6a ）d t （2）小波变换W a ，6（f ）就是函数f （t ）" 2（R ）在对应函数族!a ，6（t ）上的分解.这一分解成立的前提是母波函数!（t ）满足如下容许性条件!=#0I ^!（"）I 2"d "< （3）式中^!（"）是!（t ）的傅立叶变换.由小波变换W a ，6（f ）重构f （t ）的小波逆变换#收稿日期：1999-10-22；修订日期：2000-7-20；作者简介：林克正（1962-），男，山东蓬莱人，哈尔滨工程大学博士研究生，哈尔滨理工大学副教授，主要研究方向：小波分析理论及图像处理.第21卷第4期哈尔滨工程大学学报Voi.21，N.42000年8月Journai of Harbin Engineering University Aug.，2000定义为f（t）=lC J-J-W a，6（f）a，6（t）d aa2d6（4）小波基不是唯一的，只要满足容许性条件即可定义任一特定信号的小波基.另外为了数学上的方便，小波变换也可以表示为W S f（t）=f S（t）=lS J-f（x）（t-xS）d x（5）式中S（t）=lS （tS），S仍然是尺度参数.在实际应用中，小波变换的尺度参数不必连续取值，而是按照某种方式把连续小波及其变换做离散化处理.通常对尺度参数S进行二进制离散化，即取S=2，Z，则f（t）在尺度2下的小波变换为W2f（t）=f（t）2（t）=l2J-f（x）（t-x2）d x（6）它给出了第个倍频程的局部信息.f（t）的小波分解和重构可按Mallat塔式算法［6］进行.l.2信号的奇异性设f（x）L2（R），x为x0的任一开邻域，若v x x，有I f（x）-f（x0）I S K I x-x0I（其中K为不等于零的常数）（7）则称f（x）在x0点的奇异性为.若小波函数C l（R），且具有I阶消失矩（I N），可以证明，v x x，有I（W f）（a，6）I S Ka（8）上式说明，对于奇异性大于零的奇异点，随着尺度的增加，其小波变换后的幅值将呈幂增加趋势；而对于奇异性小于零的奇异点，则小波变换的幅值随着尺度的增加而减小.2宽带随机噪声在小波变换下的特性设I（x）为一实的、方差为2的平稳噪声，E（x）表示随机变量X的数学期望，则I（x）的自相关函数R I（U，1）=E［I（U）I（1）］=（U-1）2（9）设I（x）的小波变换为W I（S，x），对某一尺度S，它也是x的随机过程，且有I W I（S，x）I2=J-J-I（U）I（1）S（x-U）S（x-1）d U d1（l0）对此式求数学期望，得E（I W I（S，x）I2）=J-J-2（U-1）S（x-U）S（x-1）d U d1=22S（ll）式（ll）表明，白噪声小波变换的模平方与尺度S成反比，这与一般信号的奇异点是完全不同的.且白噪声产生的模极大值随二进尺度的增加以半数减少的，故尺度越低，噪声成分的含量就越高. 3小波去噪算法设观测所获得的数据为x（t i）=S（t i）+I（t i）i=l，2，…，m；（l2）式中S（t i）为真实信号；I（t i）为加性噪声；t i是等间隔的采样点，共有m个样本.设W（·）和W-l（·）分别表示小波变换和小波逆变换的算子，令D（·，）代表以阈值的去噪算子.小波去噪过程可分3步进行：（l）进行小波分解：选择一个小波基，并确定尺度，然后进行小波分解；即Y=W（x（t i））（l3）（2）阈值法修正细节系数：对每一尺度（从l至），选取适当的阈值作用于每一尺度的细节，按一定策略进行处理.Z=D（Y，）（l4）设阈值为，对某一数据域，现给出两种阈值策略：硬阈值法：进行截断处理，若I U I>，则保留，否则置为0.软阈值法［2］：进行趋零处理，算子D将数据域U中所有I U I S数值置为零，并对I U I>的数以量缩小，它将不置为0的那些系数值进行趋零处理.尽可能地提高信噪比是选取合适阈值的原则，设某一尺度细节系数的长度为m，该尺度细节系数的标准差为，处理该尺度细节系数的阈值可按式（l5）来确定.=2log（m）（l5）阈值的大小不仅与尺度有关，而且与细节系数的标准差有关，按此策略选取的阈值对信号是可浮动的自适应阈值，随着噪声能量强弱的变化，阈值也能随之上下浮动.（3）信号重建·22·哈尔滨工程大学学报第2l卷通过小波逆变换，利用原信号尺度 的近似和修改过的各尺度（1至 ）的细节重建原信号.S =W -1（Z ）（16）4实验结果分析和讨论选择文献［3］中的加噪信号作为仿真实验信号，加噪信号‘HeaviSine ’和‘Bumps ’的小波变换及其去噪过程如图1所示.其中（a ），（d ）为原加噪信号及其小波系数；（J ），（e ）为小波硬阈值法去噪结果及其小波系数；（c ），（f ）为小波软阈值法去噪结果及其小波系数.恰当地选取尺度和小波基将直接影响处理效果，小波去噪可采用Daubechies 小波［1］，其中低号小波（如Db3）局部性强，奇异指数小，因而不能反映原信号的频率特征；而高号小波（如Db18）则高度光滑，因而不能精确反映出尖峰信号点的奇异信息.若侧重局部性，可以选用Db5，得到了满意的结果.从表1可以看到硬阈值法去噪比软阈值法去噪有更高的信噪比，但软阈值法去噪比硬阈值法去噪图1加噪信号的小波变换及其去噪过程Fig.1Waveiet transform of noisy signais and different denoising procedure 表1硬阈值法去噪和软阈值法去噪的结果比较Tabie 1Comparison of denoising resuits with hard and soft threshoid methodBumps 信号Doppier 信号HeaviSine 信号Pipe 信号噪声信号SNR 6.937.037.2315.72硬阈值法去噪结果SNR 13.1614.3619.8133.86软阈值法去噪结果SNR8.239.9917.2325.98具有较好的平滑作用.实际中，只能对小波变换作有限级尺度分解，尺度太大则无法完整保持信号的奇异性，因而不能准确定位；尺度太小又不能有效地去噪，因而应用中一般选取尺度 不小于2，这里选择分解尺度为4级.小波去噪方法在式（13），（14）和（16）已用算子W （·），D （·，!）和W -1（·）进行了统一的描述.实现W （·）和W -1（·）涉及小波基的选取以及信号延拓方法的确定等，还有!的选取和D （·，!）的确定也可采用不同的策略方法，结合W （·），W -1（·），!和D （·，!）的不同实现方法，可以产生许多不同的基于小波变换的去噪方法，所以应联系具体的实际问题，对用小波去噪的方法加以充实和发展.总之，小波分析不仅提供了一种更加有效的时频分析方法，更重要的是为我们提供了一种新的信号处理的思想方法.小波去噪明显优于传统方法，它不仅能提高信噪比，而且能保持原信号的奇异性.特别是其软阈值法比硬阈（下转第35页）·32·第4期林克正等：基于小波变换的去噪方法（上接第23页）值法更具有平滑滤波作用.小波变换是一种多分辨分析，当尺度较小（!小）时，时间分辨率高，适于分析高频信号；当尺度较大（!大）时，频率分辨率高，适于分析低频信号，可以看到过程全貌，这使得基于小波变换的检测器有较好的鲁棒性.参考文献：［1］STRANG G，NGUYEN T.WaveIets and fiIter banks［M］.WeIIesIey-Cambridge Press，1996.［2］DONOHO D L.Denoising by soft threshoIding［J］.IEEE Trans on Inform Theory，1995，41（5）：613-627.［3］DONOHO D L，JOHNSTONE I M.IdeaI spatiaI adaptationby waveIet shrinkage［J］.Biometrika，1994，81（9）：425-455.［4］DONOHO D L，JOHNSTONE I M，KERKYACHARIAN G，et aI.WaveIet 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