北京市西城区2016年高三一模试卷数 学（理科） 2016.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合2{|0}4A x x x =<+，集合{|21,}B n n k k ==-∈Z ，则A B =（ ）2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22,()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 是（ ）3. 如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）4. 在平面直角坐标系中，向量OA ＝(-1, 2)，OB ＝(2, m ) ， 若O , A , B 三点能构成三角形，则（ ）5. 执行如图所示的程序框图，若输入的,A S 分别为0, 1， 则输出的S =（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）27 （D ）36xOy （A ）{1,1}-（B ）{1,3} （C ）{3,1}-- （D ）{3,1,1,3}--（A ）关于x 轴对称的图形 （B ）关于y 轴对称的图形 （C ）关于原点对称的图形（D ）关于直线y x =对称的图形（A ） ()y x f x =+ （B ）()y xf x = （C ）2()y x f x =+（D ）2()y x f x =（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠（D ）m ∈R输出S 2k k =+A A k =+S S A =⋅是否4k ≥ 输入A ,S1k = 开始 结束6. 设1(0,)2x ∈，则“(,0)a ∈-∞”是“12log x x a >+”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的部分图象如图所示，则有（ ）（A ）3π5π7π()()()436f f f -<< （B ）3π7π5π()()()463f f f -<<（C ）5π7π3π()()()364f f f <<-（D ）5π3π7π()()()346f f f <-<8. 如图，在棱长为(0)a a的正四面体ABCD 中，点111,,B C D 分别在棱AB ,AC ,AD 上，且平面111//B C D 平面BCD ，1A 为BCD 内一点，记三棱锥1111A B C D 的体积为V ，设1AD x AD，对于函数()Vf x ，则（ ）（A ）当23x时，函数()f x 取到最大值 （B ）函数()f x 在1(,1)2上是减函数（C ）函数()f x 的图象关于直线12x 对称（D ）存在0x ，使得01()3A BCDf x V （其中ABCDV 为四面体ABCD 的体积）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z =____. 5π6O x yπ12BB 1C DC 1D 1A 1A10．已知等差数列{}n a 的公差0d >， 33a =-，245a a ⋅=，则n a =____；记{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为____.11．若圆22(2)1x y -+=与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的渐近线相切，则a =_____；双曲线C 的渐近线方程是____. 12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是____.13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A , B , C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A , B 项目，乙不能参加B , C 项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）14. 一辆赛车在一个周长为3 km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．（图1） （图2） 根据图1，有以下四个说法：○1 在这第二圈的2.6 km 到2.8 km 之间，赛车速度逐渐增加； ○2 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km ； ○3 大约在这第二圈的0.4 km 到0.6 km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ○4 在图2的四条曲线（注：S 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．侧(左)视图正(主)视图俯视图22AsCs DssB15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π3A =，sin 3sinBC =. （Ⅰ）若7a =，求b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.16．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最小时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）17．（本小题满分14分）O45 55 65 75 85 95 ◆14 2◆◆◆◆◆4 12 10 6 8 各分数段人数如图，四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1ADD ；（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数1()e e x x f x x a -=-，且(1)e f '=. （Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两不相等个正实数根12,x x ，证明：124||lnex x ->．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2231(0)mx my m +=>的长轴长为26O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若||||BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.20．（本小题满分13分）设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1||mi i i a b =-∑.（Ⅰ）给出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离； （Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =， {}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值；（Ⅲ）记S 是所有7项数列{|107,n n a n a =≤≤或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T 中的元素个数小于或等于16.北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16- 113 3y x = 12．6 13．21 14．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得 3b c =. ………………3分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，7a =， ………………5分得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分（Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分 31sin 3sin 2C C C +=， ………………11分35sin 2C C =， 所以3tan C = ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，…………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. …4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. ………………9分（Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BCCC C =，所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B =，所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =-,1(4,0,2)AD =-.设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅=m ，10AD ⋅=m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n .所以329cos ,||||⋅<>==m n m n m n . 即平面11AC D 与平面1ADD 329. ………………10分（Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈， 由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，得1(1,0,)BC m =-，1(3,2,)DC m =，1(3,2,)DP DC m λλλλ==，(3,2,0)CD =--， (33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--. ………………12分若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-， 因为0λ≠， 所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=.ABCDD 1C 1Pyxz令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)+∞()f x ' -0 +()f x↘↗所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分（Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (0,ln(2))kln(2)k(ln(2),)k +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<. ………………11分同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <，可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 124||ln ex x ->. (13)分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：221113x y m m+=， (1)分所以21a m =，213b m=， 故12226a m ==16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. (3)分因为222c a b -， 所以离心率6c e a ==………………5分（Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥， ………………7分由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………8分所以直线BD 的斜率为031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-. ………………10分令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-， 由2200162x y +=，得22063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+003322||22||y y ⨯⨯≥ 33=当且仅当00322y y =，即03[2,2]y =时等号成立. 所以四边形OPAB 面积的最小值为33 ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7. ………………2分 （Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±. 由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =， 所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ……………4分 所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）. (5)分由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑， ………………6分得34564864117||||86420163i i ii i i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016m i i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455. ………………8分 （Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . …………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；1234567,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1. 又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立， 同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i i i f c =-∑≤和71||2i i i f d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16. ………………13分。