金融工程模拟试卷2（含答案及评分标准）一、不定项选择（各3分，共30分）1、下列关于远期价格和远期价值的说法中，不正确的是：（）A．远期价格是使得远期合约价值为零的交割价格B．远期价格等于远期合约在实际交易中形成的交割价格C．远期价值由远期实际价格和远期理论价格共同决定D．远期价格与标的物现货价格紧密相连，而远期价值是指远期合约本身的价值2、下列关于期货价格与预期的未来现货价格关系的说法中，不正确的是：（）A．期货价格与预期的未来现货价格孰大孰小，取决于标的资产的系统性风险B．如果标的资产的系统性风险为正，那么期货价格大于预期的未来现货价格C．如果标的资产的系统性风险为零，那么期货价格等于预期的未来现货价格D．如果标的资产的系统性风险为负，那么期货价格小于预期的未来现货价格3、以下关于实值期权和虚值期权的说法中，不正确的是：（）A．当标的资产价格高于期权执行价格时，我们将其称为实值期权B．当标的资产价格低于期权执行价格时，我们将其称为虚值期权C．当标的资产价格低于期权执行价格时，我们将其称为实值期权D．当标的资产价格高于期权执行价格时，我们将其称为虚值期权4、根据有收益资产的欧式看涨和看跌期权平价关系，下列说法不正确的是：（）A．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看涨期权的价值会上升B．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看跌期权的价值会上升C．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看涨期权的价值会下降D．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看跌期权的价值会下降5、下列关于有收益资产的美式看跌期权的说法中，不正确的是：（）A．对于有收益资产的美式看涨期权，提前执行期权意味着放弃收益权，因此不应提前执行B．对于有收益资产的美式看跌期权，当标的资产收益很小时，可以提前执行期权C．对于有收益资产的美式看跌期权，提前执行期权可以获得利息收入，应该提前执行D．对于有收益资产的美式看跌期权，提前执行期权可能是合理的6、某公司计划在3个月之后发行股票，那么该公司可以采用以下哪些措施来进行相应的套期保值？（）A．购买股票指数期货B．出售股票指数期货C．购买股票指数期货的看涨期权D．出售股票指数期货的看跌期权7、当利率期限结构向上倾斜时，下列关于利率互换中的说法中，不正确的是：（）A．利率互换中，收到浮动利率的一方初期现金流为负，后期现金流为正，后期面临的信用风险较大B．利率互换中，收到浮动利率的一方初期现金流为正，后期现金流为负，后期面临的信用风险较大C．利率互换中，收到固定利率的一方初期现金流为正，后期现金流为负，后期面临的信用风险较大D．利率互换中，收到固定利率的一方初期现金流为负，后期现金流为正，后期面临的信用风险较大8、某股票目前的市场价格为31元，执行价格为30元，连续复利的无风险年利率为10%，3个月期的该股票欧式看涨期权价格为3元，相应的欧式看跌期权价格为2.25，请问套利者应该采取以下哪些策略？（）A．买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，将现金收入进行无风险投资B．买入看跌期权，卖空看涨期权和股票，将现金收入进行无风险投资C．卖空看跌期权，买入看涨期权和股票，将现金收入进行无风险投资D．卖空看涨期权，买入看跌期权和股票，将现金收入进行无风险投资9、当投资者相信股票将有巨大的变动但是方向不确定时，投资者能采用以下哪些策略是合理的？（）A．正向差期组合B．反向差期组合C．正向蝶式组合D．反向蝶式组合10、某股票价格遵循几何布朗运动，期望收益率为16％，波动率为25％。
该股票现价为$38，基于该股票的欧式看涨期权的执行价格为$40，6个月后到期。
该期权被执行的概率为：（）A．0.4698B．0.4786C．0.4862D．0.4968二、判断题（各2分，共20分）1、当标的资产价格远远高于期权执行价格时，应该提前执行美式看涨期权。
2、欧式看跌期权和美式看跌期权的价格上限是相同的，都为期权执行价格。
3、从比较静态的角度来考察，如果无风险利率越低，那么看跌期权的价格就越高。
4、有收益美式看跌期权的内在价值为期权执行价格与标的资产派发的现金收益的现值及标的资产市价之间的差额。
5、期权交易同期货交易一样，买卖双方都需要交纳保证金。
6、期货合约的到期时间几乎总是长于远期合约。
7、当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。
8、只能通过数值方法求得有收益资产美式看跌期权的价格。
9、如果股票价格的变化遵循伊藤过程，那么基于该股票的期权价格的变化遵循维纳过程。
10、看跌期权的反向差期组合是由一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权多头所组成。
三、计算分析题（共50分）1、请运用无套利方法推导Black-Scholes微分方程（10分）。
并回答下列问题（1）Black-scholes 股票期权定价模型中对股票价格随机过程的假设是什么？（2分）（2）Black-scholes 股票期权定价模型中对股票价格概率分布的假设是什么？（2分）（3）若一股票价格的波动率为每年30％，则在一个交易日内其相应的价格变化的标准差是多少？（假设一年有250个交易日）（2分）（4）简要阐述Black-Scholes 微分方程中所蕴涵的风险中性定价思想。
（4分）2、假设一个不支付红利的股票预期收益率为μ，波动率为σ，其价格表示为S 。
现有另一种证券，该证券承诺在其到期时刻T ，投资者将获得ln T S 的payoff 。
（15分）（1）请用风险中性定价原理为该证券定价。
（2）证明这一价格符合Black-Scholes 微分方程。
3、假设x 是在T 时刻支付1美元的贴现债券按连续复利计息的到期收益率。
假设x 遵循如下过程：0()dx x x dt sxdz α=-+，其中α、0x 和s 是正常数，dz 是维纳过程。
那么此债券的价格运动遵循何种过程？（提示：运用Ito 引理）（15分）参考答案一、 不定项选择1、B2、BD3、ABCD4、BC5、AC6、B7、BCD8、A9、BD 10、D二、 判断题1、错误2、错误3、正确4、错误5、错误6、错误7、正确8、正确9、错误 10、错误三、 计算分析题1、 解答：（1）证明：假设证券价格S 遵循几何布朗运动，因此有：Sdz Sdt dS σμ+=其在一个小的时间间隔t ∆中，S 的变化值S ∆为：z S t S S ∆+∆=∆σμ假设f 是依赖于S 的衍生证券的价格，则f 一定是S 和t 的函数，从Ito 引理可得：Sdz S f dt S S f t f S S f df σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222在一个小的时间间隔t ∆中，f 的变化值f ∆为：z S S f t S S f t f S S f f ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σσμ)21(2222构建一个包括一单位衍生证券空头和S f∂∂单位标的证券多头的组合。
令∏代表该投资组合的价值，则：f f S x ∂∏=-+∂。
在t ∆时间后，该投资组合的价值变化∆∏为：f f S S ∂∆∏=-∆+∆∂，可得：t S S f t f ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ由于不含有z ∆，该组合的价值在一个小时间间隔t ∆后必定没有风险，因此该组合在t ∆中的瞬时收益率一定等于t ∆中的无风险收益率。
否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。
因此，在没有套利机会的条件下：t r ∏∆=∆∏从而：t S S f f r t S S f t f ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 化简为：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S 的所有衍生证券的定价。
（2）股票价格服从几何布朗运动和对数正态分布。
（3）标准差是0.019==。
（4）从BS 方程中我们可以看到，衍生证券的价值决定公式中出现的变量均为客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。
而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
因而在为衍生证券定价时，我们可以作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r ，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。
同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
这就是风险中性定价原理。
2：解答： ()[]()()2ˆln ln 2r T t r T t T f e E S e S r T t σ----⎡⎤⎛⎫==+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()()()()222ln 222r T t r T t r T t f re S r T t e r rf e r t σσσ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=+----=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1r T t f e S S --∂=∂ ()2221r T t f e S S--∂=-∂ ()()()22222211222r T t r T t r T t f f f rS S rf e r re e rf t S S σσσ------⎛⎫∂∂∂∴++=---= ⎪∂∂∂⎝⎭＋ 3、解答：假设债券价格为B ，由Ito 引理可得，债券价格遵循的过程为： 2021()2B B B B dB x x dt sxdz xt x x α⎡⎤∂∂∂∂=-+++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ 因为：()()1x T t x T t B ee ----=⨯= 所以：()x T t B xe xB t--∂==∂ ()()()x T t B T t e T t B x--∂=--=--∂ 22()22()()x T t B T t e T t Bx --∂=-=-∂ 因此，代入得，债券价格遵循的过程为：22201()()()()2dB x x T t x s x T t Bdt sx T t Bdz α⎡⎤=---++---⎢⎥⎣⎦。