一、计算题
（1）9
7
1315-721-1312-÷+×）（）（（5分）
（2）20
9
20951-9228.5-2.692254922×
÷××+×）（（用两种简便方法解答）（10分） 方法一： 方法二：
二、填空题（每空3分，共30分）
1. 关于数a,b ，有2b a b a += ，1－ab b a =⊕，则7
18
97]45[2⊕+ 的值
是 。

2.用},,min{c b a 表示a,b,c 三个数中的最小值，若)0}(10,2,m in{2≥+=x x x x y －，则y 的最大值为 。

3.任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：q p n ×=（p 、q 是正整数，且q p ≤），
如果q p ×在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称q p ×是n 的
最佳分解，并规定：q
p
n F =)(。

例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就
有2163)18(==F ，给出下列关于F(n)的说法：（1）21)2(=F ，（2）8
3
)24(=F ，
（3）3)27(=F ；（4）若n 是一个完全平方数，则1)(=n F 。

其中正确的是 。

4. 在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j
i a ,（其中i,j 都是不大于5的正整数）。

对于表中的每个数j i a ,，规定如下：当j i ≥，1,=j i a ；当j i <，0,=j i a 。

例如当i=2,j=1
时，112,==，a a j i 。

按此规定，______3,1=a ；表中的25个数中，共有 个1；计算551441331221111，，，，，，，，，，i i i i i a a a a a a a a a a •+•+•+•+•的值为 。

5. “皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为
12
－b
a S +=。

孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和
b 中有一个表示多边
形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数。

请你选择一些特殊的多边形（如图1）进
行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，运用这个公式求得图2的中多边形的面积是 。

6. 某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输。

现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01。

我们用A 0表示没有经过加密的数字串，这样对A 0进行一次加密就得到一个新的数字串A 1，对A 1再进行一次加密又得到一个新的数字串A 2，依此类推，…，例如：A 0：10，则A 1：1001。

若已知A 2A 0： ，若数字串A 0共有4个数字，则数字串A 2中相邻两个数字相等的数至少有 对。

三、求图中阴影部分的面积（单位：分米）（用两种方法解答）（6分）
四、解答题（要有适当的解答过程，书写规范）
1.（6分）如图，有一种足球是由块数黑白相间的牛皮颖制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数。

（要求用两种方法）
2. （8分）对于正整数n ，定义⎪⎩⎪⎨⎧≥=10
)(10
)(2n n f n n n F ，＜，，其中f （n ）表示n 的首位
数字与末位数字的平方和。

例如：1031)123()123(366)6(222=+====f F F ，。

规定))(()()()(11n F F n F n F n F k k ==+，（k 为正整数），例如：
10)123()123(1==F F ，1))123(()123(12==F F F 。

（1）求：)4(2F 的值，)4(2015F 的值；
（2）若89)4(3=m F ，则正整数m 的最小值是多少？
3. （6分）一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3、1、1，那么这个大长方体的表面积可能有多少种不同的值，最小的是多少？（要求画图，有适当的解答过程）
4. （8分）对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为)(n F 。

例如123=n ，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为666=132+321132+,
6=111÷666，所以6)123(=F 。

（1）计算：)243(F ，)617(F ；
（2）若s,t 都是“相异数”，其中32100+=x s ，y t +=150(9191≤≤≤≤y x ，,x 、y 都是正整数），规定：)
()
(t F s F k =
，当18)()(=+t F s F 时，求k 的最大值。

5.（6分）一条公交线路上从起点到终点共有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人。

问从前6站上车而终点站下车的乘客有多少人？
6.（15分）对于三个数a,b,c ，{}c b a M ，，表示a,b,c 这三个数的平均数，
{}c b a ，，m in 表示a,b,c 这三个数中最小的数，如：{}23
3
21321=++=
，，M ，{}1321m in =，，； （1）求{}a M ，，21的值，{}
a ，，21min 的值。

（2）若{}224222m in =-+x x ，，
，则x 的取值范围是多少？ （3）①若{}{}
x x x x M 212min 212，，，，+=+，那么x 的值是多少？
②根据①，你发现结论：若{}{}
c b a c b a M ，，，，min =，那么a,b,c 三个数的大小关系是什么？
③运用②计算：若{}{}
y x y x y x y x y x y x M -+++=-+++2222min 2222，，，，，求
y x --5。