经典难题（一）1、已知：如图， 0是半圆的圆心， C E 是圆上的两点， CD 丄AB, EF 丄AB, EGL CO 求证：CD= GF.4、已知：如图，在四边形 ABCD 中, AD= BC, M N 分别是AB CD 的中点，AD BC 的延长线交MN 于E 、F .求证：/ DEN=Z F .2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内一点, 求证：△ PBC 是正三角形. PAD=Z PDA= 150. 3、如图，已知四边形 ABCD AiBCD 都是正方形, 的中点.求证：四边形A e B 2C 2C 2是正方形.（初二） A 、E 2、C 2、D 2 分别是 AA 、BB 、CG 、DD DCDCM经典难题（二）1、已知：△ ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），0为外心，且 OM L BC 于M.(1) 求证：AH= 20M(2) 若/ BAC= 600,求证: 2、设MN 是圆O 外一直线，过0作OAL MN 于A 自A 引圆的两条直线， 交圆于B 、C 及D E , 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q. 求证：AP = AQ （初二） 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC DE 设CD EB 分别交MN 于P 、Q.求证：AP = AQ （初二） 4、如图，分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFGAH= AO (初二)H EB CM D G ECAM NPO点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）F1、如图，四边形 ABCD 为正方形,求证：CE = CF.（初二）DE// AC, AE = AC, AE 与 CD 相交于 F .2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE// AC,且CE= CA 直线EC 交DA 延长线于F . 求证：AE = AF.（初二） 3、设P 是正方形 ABCD-边BC 上的任一点，PF 丄AP, CF 平分/ DCE求证：PA = PF.（初二）4、如图，PC 切圆0于C, AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线P0相交于 B D.求 证：AB= DC BC = AD （初三）EA DC1、已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点， PA = 3, PB= 4, PC = 5. 求：/ APB 的度数.（初二）2、设P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且/ PBA=Z PDA 求证：/ PAB=Z PCB （初二）4、平行四边形 ABCD 中，设E 、F 分别是BC AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ,且 AE = CF.求证：/ DPA=Z DPC （初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证: AB- CD^AD- BC = AC- BD.（初三）B ---------------------------- C经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ ABC内任一点，L = PA + PB + PC ,求证：B C2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+ PB+ PC的最小值.3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.A D4、如图，△ ABC中，/ ABC=Z ACB= 80°, D E分别是AB AC上的点，/ DCA= 30°, =20°,求/ BED的度数.经典难题解答经典难题（一）1.如下图做GHL AB,连接EO由于GOFE四点共圆，所以/ GFH kZ OEG, 即厶OGE可得■EO=GO=C°,又CO=EO所以CD=G碍证。
GF GH CD2.如下图做厶DGC使与厶ADP全等，可得△ PDG为等边△，从而可得△ DG QA APD^A CGP,得出PC=AD=DC和/ DCG N PCG= 15°所以/ DCP=30，从而得出△ PBC是正三角形3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接C2F与AE并延长相交于Q点, 连接EB 并延长交C2Q于H点，连接FE2并延长交AQ于G点，由AE=*AB=*BG= FB2 , EB=》AB=2B C=F C，又/GFQ亡Q=90 和/ GE B^+Z Q=9C°,所以/ GE32=Z GFQ又/ BFC2=/A2EB ,可得△ B2FC BA AEB2，所以A zR uBC b ,又/ GFQ# HB2F=900和/ GFQ2 EBA , 从而可得/ A2B2 C2=900,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形AB2GD2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得/ QMF=/ F,/ QNM N DEN 和/QMN/QNM 从而得出/ DEN=/ F。
经典难题(二)1.(1)延长AD到F 连BF,做0G_ AF,又/ F=/ ACB=/ BHD，可得BH=BF从而可得HD=DF又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=20M (2)连接OB 0C既得/ BOC=120, 从而可得/ B0M=600 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。
3.作0巳CD OGL BE 连接OP OA OF, AF, OG AG OQ由于AD= AC=CD=2FD = FD-2BG = BG，由此可得厶ADF^A ABQ从而可得/ AFC=Z AGE又因为PFOA与QGOA9点共圆,可得/ AFC=Z AOP和/ AGE2 AOQ / AOP=/ AOQ 从而可得AP=AQ4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG CI , FHo可得PQ=EG+ FH2 由厶EGA2^AIC，可得EG=A，由厶BFrt^A CBI ,可得FH=BI。
AI + BI AB从而可得PQ= = ,从而得证。
经典难题（三）1•顺时针旋转△ ADE到厶ABG连接CG.由于/ ABG=Z ADE=90+45°=135°从而可得B, G, D在一条直线上，可得△ AGB^A CGB 推出AE=AG=AC=GC可得厶AGC为等边三角形。
/ AGB=3°,既得/ EAC=3°，从而可得/ A EC=75°。
又/ EFC玄DFA=45+30°=75°.可证：CE=CF。
2.连接BD作CH L DE可得四边形CGD是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH可得/ CEH=3°,所以/ CAE=/ CEA玄AED=l5,又/ FAE=90+45°+15°=15O°,从而可知道/ F=15°,从而得出AE=AF3.作FGL CD FE丄BE可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X。
X Z 2tan / BAP=tan/ EPF== ，可得YZ=XY-X+XZ,Y Y- X + Z即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ ABP^A PEF , 得到PA= PF，得证。
经典难题（四）1.顺时针旋转△ ABP 60 0，连接PQ，则△ PBQ是正三角形。
可得△ PQC是直角三角形。
所以/ APB=1500。
2•作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE// DC BE// PC. 可以得出/ ABP=/ ADP=/ AEP可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得/ BAP=/ BEP=/ BCP 得证。
3.在BD取一点E ,使/ BCE/ ACD既得△ BE3A ADC可得:BE=J AD ,即AD?BC=BEAC, ①BC AC又/ ACB/ DCE 可得△ AB3A DEC 既得些=匹，即AB?CD=DEAC ②AC DC由① + ②可得：AB ?CD+ADBC=AC(BE+DE)= AC BD ,得证。
4.过D作AQL AE , Ad CF，由S VADE= -S Y ABCD = S VDFC，可得:2AEgPQ=AEgPQ，由AE=FC2 2可得DQ=DG可得/ DPA=Z DPC（角平分线逆定理）。
经典难题(五)1. ( 1)顺时针旋转△ BPC 600，可得△ PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+要使最小只要AP, PE EF在一条直线上,即如下图：可得最小L=（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F。
由于/ APDN ATP=Z ADP推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得：最大L< 2 ;由（1）和（2）既得：2.顺时针旋转△ BPC 600，可得△ PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+E要使最小只要AP, PE EF在一条直线上, 即如下图：可得最小PA+PB+PC=A F既得AF= 1+ (弓 + 1)2=)2+ 73= j 4 + =；于=亦3+1) _ 恵+花3.顺时针旋转△ ABP 90 °，可得如下图:4.在AB上找一点F,使/ BCF=60 , 连接EF, DG既得△ BGC为等边三角形，可得/ DCF=10 , / FCE=20 ,推出△ ABE^A ACF ,得到BE=CF , FG=GE 。
推出：△ FGE为等边三角形，可得/ AFE=8d ,既得：/ DFG=40 又BD=BC=BG 既得/ BGD=80，既得/ DGF=40 推得：DF=DG，得到：△ DFE^A DGE , 从而推得：/ FED=/ BED=30 。
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