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6. 多元复合函数微分运算法则
定理 5 设u x,v x在 x处可导，z f (u,v) 在对应点u,v 处可微,则复合函数 z f x, x 在 x处可导,且
dz z du z dv (全导数法则) dx u dx v dx
多元函数微分法
一.多元函数的极限与连续性
1. 多元函数的极限:
定 义1： 设z f ( x, y) f (M )在 点集E上 有定 义 ，
M0( x0 , y0 )为E的 一 个 聚 点 ， 若 对 0, 存 在 0, 使 得 对 满 足0 | MM0 | 的M ( x, y),有 | f ( x, y) A | ,则 称A为f ( x, y)当
Ax By o( )
其 中 A, B 与 x, y 无 关,而 与x, y 有 关,
(x)2 (y)2 . 则称 z f ( x, y) 在点( x, y) 处可微, Ax By 为 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分,记为dz,即
例1
证 明lim x0
xy sin（x x2 y2
y)

0.
y0
例2
求 lim sin(xy)
x0
y
y0
例3
lim
x0
xy2 x2 y4
是 否 存 在?
y0
例4
研 究 函 数f
( x,
y)

xy ln(x2

y2)
0
x2 y2 0, x2 y2 0
例7 设z f ( x, y) x y ,
求
2z xy
,
2z yx
,
2z x 2
,
2z y 2
.
4. 全微分
定义4 如 果z f ( x, y)在 点( x, y)的 全 增 量 可 表 示 为
z f ( x x, y y) f ( x, y)
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f ( x, y)在( x, y)处连续;
(2) f ( x, y)在( x, y)处存在偏导数 z , z , 且
x y
dz z x z y
x
y
注 : 偏导数存在是可微的必要条件,而非充分条件. 当偏导数存在时可得到表达式 z x z y，但它
例16 设 z f (e x y, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导数，
求 2z . xy
e2 x yf11 2e x ( x y2 ) f12 4 xyf22 e x f1
x
z
1
y
2
x
y
例17 设f 有二阶导数, g 有二阶连续偏导数,
向
量l 的
方
向
余
弦
为cos
, cos

，
若
极
限
lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0, y0 )
t0
t

存 在,则 称 此 极 限 为z
f
(
x,
y)
在
点M
沿
0
方
向l
的 方 向 导 数.记 为z l
. M 0

特别，若l

i
(2) z arctan y ;
(3)u z yx
x
例6
设f
( x,
y)


xy2 x2 y4
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
(1) 讨论 f ( x, y)在 (0,0) 的连续性.
(2) 求 f x (0,0), f y (0,0).
二元函数 f ( x, y)在一点的偏导数存在不能保证 f ( x, y)在该点连续。而在一元函数中，可导必连续。
x y 并不一定是全微分dz, 必须再验证
"z [ z x z y]是比 高阶无穷小"
x y 的 条 件, 才 能 保 证 全 微 分 的 存 在， 并 且
dz z x z y gradz dx, dy
x y
定理3（充分条件）
若z f x, y 的偏导数z , z 在点M x, y处连续,
定理6 设u x, y,v x, y在( x, y)处 存 在 偏 导 数 ，z f u, v在 对 应 点(u, v)处 存 在 偏
导 数则，复合函数 f ( ( x, y), ( x, y))在( x, y)处
存在偏导数，且

z x z
在(0,0)处 的 连 续 性 。
二.多元函数微分法
1.偏导数
定义3设 z f ( x, y)在 区 域D上 有 定 义, M0 ( x0, y0 ) D,
若 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )
x0
x
存 在, 则 称 此 极 限 为z f ( x, y) 在M0 ( x0, y0 )处 对x
为 了 书 写 简 单 起 见,把x y, xy2分 别 简 记
为1, 2, 则 有 :
z x

f1
f2 y2,
2z x 2

f11 2 f12 y2
f22 y4
2z xy


f11

2 xy3
f22

(2x

y) y
f12

2y
f2
在求二阶偏导数时,一定要注意 f1, f2仍是原变量的 复合函数.
若M(x,y)按两种不同的方式趋于 M0( x0, y0 ) 时,
f(x,y)趋于两个不同的值, 则可断定极限不存在.
2. 多元函数的连续性:
定义2:
若
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
则称 f ( x, y) 在 M0( x0 , y0 )处连续。
f ( x, y) 为D内的连续函数：
fuv y2
y2( fvu
fvv y2 )
y
2z z xy y x
fuu (1) fuv 2xy 2 yfv y2 fvu 1 fvv 2xy
fuu 2xy3 fvv 2xy y2 fuv 2 yfv

1,
0，则
若l
j
0, 1，则
z
z
l M 0 x M 0
z
z
l M 0 y M 0
定理4 若 z f ( x, y)在 点M0( x0, y0 )可 微 ， 则f ( x, y)
在
点M
沿
0
任
一
方
向l
的
方
向
导
数
都
存
在
，
且
z l
M0

z x
M0
x x0 , y y0(M M0 )时 的 极 限 ，
记为 lim f ( x, y) A ,或 lim f (M ) A
x x0
MM0
y y0
注 1. 多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, 如四则运算, 复合运算,夹逼定理等同样成立.
2. 二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限 存在,指M(x,y)以任何方式趋于 M0 ( x0, y0 ) 时, 函数f (x, y)都无限接近于A.
y r sin , 求 z , z . r
例14 设 u f ( x, y, z), y x, t , t x, z均可微,
求 u , u . x z
u x

f x

f y

x

f y

t

x
u
u f u
y)在 点 M0 ( x0,
y0 ,
f
( x0,
y0 ))
处 的 切线 对x轴 的 斜 率.
f y ( x0 ,
y0 ) : 表 示 曲 线z
f (x, x x0
y)在 点
M0 ( x0, y0 ,
f
( x0, y0 ))
处 的 切线 对 y 轴 的 斜 率.
3.高 阶 偏 导 数 二阶偏导数
f 的偏导数连续
f 可微
/
f 的偏导数存在
f 连续
例11 求z

x2

xy

y2在 点(1, 1)沿
l
2, 1的方向导数，
并 指 出z在 该 点 沿 哪 个 方 向 的 方向 导 数 最 大 ？ 该 最
大 的 方 向 导 数 是 多 少 ？z沿 哪 个 方 向 减 小 得 最 快？
3， 3，3， 3 2
z u z v u x v x z u z v
y u y v y
x
u
z
y
按线相乘,分线相加
x
v
y
例12 设z eu sin2v, u xy,v x y,求 z , z
x y
例13 设 z f ( x, y)可微, x r cos ,
的 偏 导 数.记
同样地，z
为 z x
f (x,
或
M0
f
y )在M 0
x
(
( x0, y0 ).
x0, y0 )处对y的偏
导
数为
:
z y