第七章 多元函数微分学【内容提要】1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。

空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++=二次曲面方程：2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2202020Rz z y y x x =-+-+-圆柱面方程：222R y x =+椭球面方程：()2222221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：2222,(,0)x y z a b a b+=>双曲抛物面方程：2222,(,0)x y z a b a b-=>单叶双曲面图方程：1222222=-+cz b y a x (a ，b ，c ＞0)双叶双曲面方程：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=->椭圆锥面方程：2222220,(,,0)x y z a b c a b c+-=>2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。

(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。

多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。

如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D Î，都有成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,xx y y 时的极限，记作多元函数的连续性：设函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，点000(,)P x y 是D 的内点或边界点且0P D Î。

如果则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续。

3.多元函数的偏导数与全微分偏导数：设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x D 时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数， 记作0y y x x x z==∂∂， 00y y x x x f ==∂∂， 0y y x x xz ==， 或),(00y x f x同理，如果极限00000(,)(,)limy f x y y f x y yD ?+D -D存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数， 记作00x x y y z y==∂∂，00x x y y f y==∂∂， 00x x yy y z ==， 或00(,)y f x y4.二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的偏导数的几何意义00(,)x f x y 是过曲面(,)z f x y =上点00000(,,(,))M x y f x y 的曲线在点0M 处的切线x T 对x 轴的斜率。

5．二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx=∂∂=∂∂∂∂，),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂，),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂，),()(22y x f y z y z y yy=∂∂=∂∂∂∂。

如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

6.全微分如果函数(,)z f x y =在点(,)f x y 的全增量可表示为其中A 、B 不依赖于x D 、y D 而仅与x 、y 有关，则称函数(,)z f x y =在点(,)f x y 可微分， 而称A x B y D +D 为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记作dz ，即如果函数(,)z f x y =的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分。

7.复合函数微分法复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数()u t j =及()v t y =都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数((),())z f t t j y =在点t 可导，且有复合函数的中间变量均为多元函数的情形如果函数u ??(x ? y )? v ??(x ? y )都在点(x ? y )具有对x 及y 的偏导数? 函数z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z =f [j (x ? y )， (x ? y )]在点(x ? y )的两个偏导数存在? 且有8. 全微分形式不变性无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性。

9. 隐函数微分法在点00(,)x y 的某邻域内，若函数(,)F x y 有连续的偏导数x F ¢、y F '，且00(,)0F x y =，则在),(00y x F y '≠0时，方程(,)0F x y =确定唯一的、有连续导数的函数()y f x =，满足00()y f x =及(,())0F x f x =。

这个定理称为隐函数存在定理。

隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即由(,)0F x y =，两边全微分得0d d ='+'y F x F y x ， 由y F '≠0，得到隐函数的导数为yx F F x y''-=d d 。

10. 二元函数的极值设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于00(,)x y 的点(,)x y ，都有00(,)(,)f x y f x y <（或00(,)(,)f x y f x y >）则称函数在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y 。

极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则有00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =， 令则在点00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值，且当A <0时有极大值，当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值， 也可能没有极值。

极值的求法： 第一步 解方程组(,)0x f x y =，(,)0y f x y =求得一切实数解， 即可得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点00(,)x y ， 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。

第三步 判断AC -B 2的符号， 按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、是极大值还是极小值。

11.多元函数的最大值、最小值如果(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必定能取得最大值和最小值。

这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上。

我们假定， 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。

因此，求最大值和最小值的一般方法是:将函数f (x ，y )在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

12. 条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

一般地，考虑函数(,)z f x y =在限制条件(,)0g x y =下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数(,)z f x y =称为目标函数，考虑的限制条件(,)0g x y =称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件(,)0g x y =解出()y y x =，则条件极值问题可以转化为函数[,()]z f x y x =的无条件极值问题。

拉格朗日乘数法要找函数(,)z f x y =在条件(,)0x y j =下的可能极值点， 可以先构成辅助函数(,)(,)(,)F x y f x y x y l j =+，其中?为某一常数。

然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ。

由这方程组解出x ， y 及?， 则其中(,)x y 就是所要求的可能的极值点。

13. 最小二乘法简介变量x 、y 满足线性方程y ax b =+，其中，a 、b 需要确定．通过试验测得x 、y 的n 组对应值：(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到 则Q 的意义是很明显的，它等于各点离开直线y ax b =+的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。

视Q 为a 、b 的函数，求Q 的最小值，确定出线性方程的系数a 、b ，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。

根据微积分学知识，Q 有极小值的必要条件是 这样就得到关于a 和b 的线性方程组这个方程组通常称为线性回归的正规方程。

解此方程组得【习题解答】7-1 确定下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

（1）221y x z --=； （2）11),(22-+-=y x y x f ； （3）arcsinyz x=； （4）11z x y x y =++-。

解 1）221x y +≤（2）1111x y y -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或（3）11yx-≤≤ （4）y xy x≠-⎧⎨≠⎩7-2 计算下列函数的偏导数。

（1）2sin z x y =； （2）yz x =；（3）x z xy y=+； （4）2arctan()z x y =-； （5）42243y y x x z +-=； （6）()y x x z +=ln 2； （7）yx z 2tan =； （8）ln xz y =；（9）设arctan22(,)ln()y xf x y ex y =⋅+，求(1,0)x f '；（10）设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x '。