学校代码：10206学生学号：*********白城师范学院毕业论文（设计）大数定律在经济学中的应用Law of large numbers in economics学生姓名：***指导教师：邬伟三讲师学科专业：数学与应用数学所在单位：数学系2011年6月摘要概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一。
有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
这种情况下，偶然中包含着必然。
必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。
大数定律是概率论中的重要内容,它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现,在数学应用及经济生活中有着较为重要的作用,较多文献给出了不同条件下存在的大数定律,并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性,但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。
本文就大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律,并结合它们存在的条件的不同,分析了它们各种适用的数学模型的特征,列举了它们在经济生活领域的应用,将理论具体化, ,以使得枯燥的数学理论与实际想结合,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识。
关键词：大数定律特征函数保险银行贷款AbstractA history of probability limit theorem is Bernoulli, later known as the "law of large numbers." Probability random variables discussed in the arithmetic mean law of convergence to the constant. Probability theory and mathematical statistics one of the basic laws.Some random events without a pattern, but many are regular, these "regular random incident," a large number of recurring conditions, often showing statistics of almost inevitable, this rule is the law of large numbers.In layman's terms, this theorem is that under the same conditions in the test, repeat testing several times, the frequency of random events similar to it probability. In this case, includes the inevitable accident. The regularity and characteristics of the inevitable large number of samples to be reflected.Law of large numbers is an important part of probability theory, its rigorous mathematical form, the most fundamental expression of the random nature of the phenomenon - an average of the stability of results, it is the statistical regularity of random phenomena of specific performance, application and economic life in mathematics has a more important role, more literature exists under different conditions are given law of large numbers, and using law of large numbers and central limit theorem, the convergence of many models, but their scope of application and in real life The applications involve small. This paper made a law of large numbers of specific analysis, introduces some of the more common law of large numbers, combined with their existing conditions, the analysis of their mathematical model for a variety of features, listed them in the field of economic life the application of the theory specific, in order to make the boring mathematical theory and practice was integrated so that people in the law of large numbers of applications in real life have a deeper understanding of the value.Keywords：Law of Large Numbers Characteristic function Insurance Bank loans目录摘要........................................................................................................... 错误!未定义书签。
Abstract .................................................................................................... 错误!未定义书签。
绪论. (1)1特征函数 (2)2大数定律 (5)3大数定律的应用 (8)总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)绪论概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.在实践中，人们发现事件发生的“频率”具有稳定性。
在讨论数学期望时，又看到在大量独立重复试验时，“平均值”也具有稳定性。
大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”和“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。
由于大数定律的一些证明涉及到特征函数的内容，所以对特征函数定义和性质做了简要的说明。
1.特征函数一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布.特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.1.1 定义定义1 设ξ、η为实值随机变量，称ζ= ξ+ iη为复随机变量，这里2i ＝-1，称ηξςiE E E +=为ζ的数学期望.复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如E ζ具有与实数学期望类似的性质.定义2 设ξ为实随机变量，称()f t = it Ee ξ (1.1.1)为ξ的特征函数(Characteristic function)，这里t 是任意实数.由于 E|ξit e |=1, 因此对任意ξ，对一切t ∈(--∞,∞)，(1)式都有意义. 换句话说，对每个随机变量ξ（或者说每个分布函数F(x)），都有一个特征函数f (t)与之对应，它是定义在(--∞,∞)上的实变量复值函数. 特征函数是ξ的函数e it ξ的数学期望，故()f t =⎰∞∞-)x (dF e itx .特别，若ξ为离散型，P(n n p )x ==ξ, n =1,2,…, 则()f t =∑∞=1n itx nne p. (1.1.2)若ξ是连续型，其密度为p (x)，则()f t =⎰∞∞-dx )x (p e itx，(1.1.3)它就是函数p(x)的傅里叶变换.1.2 性质设f(t)为特征函数性质1 |f (t)|≤f(0) =1 (1.2.1)f (-t) =f(t)(1.2.2)证 |f (t)| = |()itxe dF x +∞-∞⎰|≤||()itxe dF x +∞-∞⎰=1, 而 f (0) =0()i x e dF x +∞-∞⎰=1,故有(4)式.又 f (-t) =()itx e dF x +∞--∞⎰=()itx e dF x +∞-∞⎰=)(t f , 得证(5)式.性质2 f (t)在 (--∞, ＋∞)上一致连续. 证： 对于任意的t ∈(--∞, ＋∞) 及ε>0, |f (t +h)-f (t)| = |⎰∞∞--)()(x dF e e e itx ihx itx |≤||||()|1|()ihx x Ax Ae dF x ≥<+-⎰⎰=I I 12+,因为()dF x +∞-∞⎰=1收敛， 因此⎰≥+≤A x ihx x dF e I ||1)()1|(|又 ||||||12/2/2/ihx ihx ihx ihx e e e e --⋅=-=2|sin (hx / 2)|, 对上面取定的A, 取δ=ε/(2A),当 |x| <A 及 0 < h <δ时，|sin (hx / 2)| < |hx /2| <ε/ 4, 故⎰-<AAx dF I )()2/(2ε≤ε/2，从而 |f (t+h)--f(t)| <ε. 且从证明可见δ的选取与t 无关.性质3 f(t) 是非负定的：对任意正整数n 及任意实数t t t n 12,,, , 复数λλ1,, n ，有≥-∑∑==j k n k nj j kt tf λλ)(110. (1.2.3)证 =-∑∑==j k n k nj j k t t f λλ)(11()11()k j n ni t t xk jk j edF x λλ+∞--∞==∑∑⎰=11()()()j k nnit xit xk j k j ee dF x λλ+∞-∞==∑∑⎰=21||()k nit x k k e dF x λ+∞-∞=≥∑⎰0. 这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1.定理的证明比较冗长，这里略去. 它在理论上给出了一个判定特征函数的方法，但具体判定一个函数是否非负定是不容易的，所以本定理实际用处不大. 许多具体问题要判定一个函数是否为特征函数常用另外的方法.性质4 若ξξξ12,,, n 相互独立, ηξξξ=+++12 n , ξi 的特征函数为f t i (),则)()()()(21t f t f t f t f n ⋅⋅=η. (1.2.4)这是因为n ξξξ,,,21 的独立导致n it it e e ξξ,,1间相互独立，故)(1n it it it e e E Ee ξξη == E n it it Ee e ξξ 1.这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.性质5 若E ξn 存在，则f (t) 是n 次可微的，且当k ≤n 时，k k k E i fξ=)0()(.(1.2.5)证 由于 ||()k itx kd e dF x dt +∞-∞⎰=||()k k itx i x e dF x +∞-∞⎰=||()||k k x dF x E ξ+∞-∞=⎰<+∞, 因此||()kitxk d e dF x dt +∞-∞⎰对t 一致收敛，故)()(t f k 存在，且 )()(t f k =||()k itx k d e dF x dt +∞-∞⎰=()k k itx i x e dF x +∞-∞⎰,)0()(k f=()kk ix dF x +∞-∞⎰=kk E i ξ. 特别,当E 2ξ存在时，有22)]0([)0(),0(),0(f f Var f E f i E '+''-=''-='-=ξξξ.性质6 设η= a ξ+b, a,b 是任意常数，则)()(at f e t f ibt =η.(1.2.6)2.大数定律2.1、切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有下列切比雪夫不等式（2.1.1）证明：（仅对连续性随机变量加以证明）[]dx x f X E x X D )()()(2⎰-∞∞+-=[][][]22)|(|222)|(|2)|(|)|(|2}|{|)()()()()()()(εσεμεε≤≥-⇒=≥-≥-+-=⎰⎰⎰⎰≥-≥-≤-≥-X P dx x f dxx f X E x dx x f X E x dx x f X E x zX E x zX E x zX E x zX E x例1利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率解：由切比雪夫不等式2)(})({|εεX D X E X P ≤≥-[]91)(3)(})(3|)({|2=≤≥-X D X D X D X E X P例2 设随机变量X 的方差为2，试根据切比雪夫不等式估计解：由切比雪夫不等式2)(})({|εεX D X E X p ≤≥-2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥-22}|{|εσεμ≤≥-X P2122}2|)({|2=≤≥-X E X P2.2重要概念及性质如果对任何n X X X n ......,,1,21≥是相互独立的，那么称变量,..........,,21n X X X 是相互独立的。