2017-2018学年江西省抚州市临川一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，复数（2+i）z＝2i，则＝（）A．B．C．D．2．（5分）双曲线﹣＝1的焦距是（）A．4B．6C．8D．与m有关3．（5分）已知两非零向量，，则“•＝||||”是“与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2＝计算出K2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（）附表：A．3.565B．4.204C．5.233D．6.8425．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω＝（）A．4B．6C．7D．96．（5分）数列{a n}的通项公式为，其前n项的和为S n，则S2018＝（）A．﹣1006B．﹣1008C．﹣1010D．﹣10127．（5分）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10B．i＜10C．i＞20D．i＜208．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D﹣AB﹣D1的大小为60°，DC1与平面ABCD所成角的大小为30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4C．D．210．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种11．（5分）在直角坐标系内，已知A（3，3）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1＝0和x+y﹣7＝0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的取值范围为（）A．（4，6）B．[4，6]C．（3，7）D．[3，7]12．（5分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝（m+1）x+n，若对∀x＞0，总有f（x）≤g（x）恒成立，记mn+n的最小值为f（m，n），则f（m，n）的最大值是（）A．1B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则（x+1）2+y2的最小值为．14．（5分）的展开式中x项的系数为270，则．15．（5分）在区间[0，3]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2＝0有两个负实根的概率为．16．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②|OP|的最小值为2；③存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，其中，所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）观察如图三角形数表，记第n行的第m个数为a（n，m）（n∈N，m∈N+）．（Ⅰ）分别写出a（4，2）﹣a（3，2），a（5，2）﹣a（4，2），a（6，2）﹣a（5，2）值的大小；（Ⅱ）归纳出a（n，2）﹣a（n﹣1，2）（n≥2）的关系式，并求出a（n，2）（n≥1）关于n的函数表达式．18．（12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAF；（Ⅱ）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．20．（12分）若椭圆C：上有一动点P，P到椭圆C的两焦点F1，F2的距离之和等于，P到直线的最大距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，（O为坐标原点）且，求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数且函数y＝f（x）图象上点（1，f（1））处的切线斜率为0．（1）试用含有a的式子表示b，并讨论f（x）的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）如果在函数图象上存在点M （x0，y0），（x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“跟随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值跟随切线”．试问：函数f（x）上是否存在两点A，B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣1）2﹣x2＝1交于A，B两点．（Ⅰ）求|AB|的长；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．2017-2018学年江西省抚州市临川一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵（2+i）z＝2i，∴（2﹣i）（2+i）z＝2i（2﹣i），5z＝2+4i，可得z＝+ i．则＝﹣i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】KB：双曲线的标准方程．【解答】解：双曲线﹣＝1焦点在x轴上，即有4﹣m2＞0，则a2＝m2+12，b2＝4﹣m2，c2＝a2+b2＝16，则c＝4，焦距2c＝8．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．3．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：两非零向量，，由“•＝||||”，可得cos＜＞＝1，∴＜＞＝0，∴与共线，故充分性成立．当与共线时，＜＞＝0 或＜＞＝π，cos＜＞＝±1，•＝|||，或•＝﹣||||，故必要性不成立．故“•＝||||”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：∵有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关，∴K2＞6.635，故选：D．【点评】根据列联表，计算K2，与临界值比较，是解决独立性检验的应用问题的方法5．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位之后与f（x）的图象重合，故f（x）＝tan（ωx++），故有tan（ωx+）＝tan（ωx++），∴＝kπ，k∈Z，结合2＜ω＜10，可得ω＝4或ω＝8，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．6．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：n＝2k﹣1时，a n＝a2k﹣1＝（2k﹣1）＝0．n＝4k﹣2时，a n＝（4k﹣2）cos（2k﹣1）π＝﹣（4k﹣2）＝（﹣1）k（4k﹣2）．n＝4k时，a n＝4k cos（2kπ）＝4k＝n．∴S2018＝0+（a2+a4+…+a2018）＝﹣2+4﹣6+8+…+2016﹣2018＝1008﹣2018＝﹣1010．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、三角函数的周期性、分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【考点】E7：循环结构．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1＝10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选：A．【点评】本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．8．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：如图，由二面角D﹣AB﹣D1的大小为60°，可知∠D1AD＝60°，∴AD＝AA1，又DC1与平面ABCD所成角的大小为30°，∴DC1＝2CC1＝2AA1，DC＝CC1＝AA1．连接AB1，B1D1，设AD＝a，则AA1＝a，AB＝3a．∴AD1＝2a，AB1＝2a，B1D1＝a．在△AB1D1中，由余弦定理可得：cos∠B1AD1＝＝．∴异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为＝2侧棱为2，则棱锥的高h＝＝3故V＝＝2故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．10．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C31＝3种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有A33＝6种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6＝27种，故选：D．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，关键分析抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的情况．11．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：由已知可得：A（3，3），A关于直线x﹣y+1＝0的对称点（2，4），A关于直线x+y﹣7＝0的对称点（4，4）均在以点C为圆心的圆上，故C点坐标为（3，4），半径为1，故设P点坐标为为（3+cosα，4+sinα），则＝（3+m+cosα，4+sinα），＝＝（3﹣m+cosα，4+sinα），∴•（）＝cos2α+9+6cosα﹣m2+16+8sinα+sin2α＝10sin（α+θ）+26﹣m2＝0（其中tanθ＝）故m2＝10sin（α+θ）+26∈[16，36]，解得：m∈[4，6]故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及运算，三角函数的性质，难度中档．12．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：函数f（x）＝lnx，g（x）＝（m+1）x+n，若对∀x＞0，总有f（x）≤g（x）恒成立，即有lnx﹣（m+1）x﹣n≤0，设h（x）＝lnx﹣（m+1）x﹣n，h（x）的最大值不大于0，由h′（x）＝﹣（m+1），可得m+1≤0，h（x）递增，无最大值；当m+1＞0，可得x＞，h（x）递减；当0＜x＜时，h（x）递增，可得h（x）的最大值为﹣ln（m+1）﹣1﹣n，可得n≥﹣1﹣ln（m+1），即有mn+n＝n（m+1）≥﹣（m+1）[1+ln（m+1）]，即有f（m，n）＝﹣（m+1）[1+ln（m+1）]，可令t＝m+1（t＞0），则y＝﹣t（1+lnt），y′＝﹣1﹣1﹣lnt＝﹣2﹣lnt，当t＞e﹣2时，函数y递减；当0＜t＜e﹣2时，函数y递增，可得f（m，n）的最大值为﹣e﹣2（1+lne﹣2）＝e﹣2，故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由题知可行域如图所示，z＝（x+1）2+y2的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点P（﹣1，0）的距离的平方，由图可得，最小值为（）2＝．故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理．【解答】解：由，令，得r＝3．∴，得a＝3．∴．故答案为：1．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查定积分的求法，是基础的计算题．15．【考点】CF：几何概型．【解答】解：方程x2+2px+3p﹣2＝0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，∴所求概率P＝．故答案为：．【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．16．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为F1（，0）和F2（﹣，0），短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|＝2a＝2＞2b，即有P在椭圆+＝1上．对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；对于②，由图象可得，当P满足x2＝y2，即有6﹣b2＝b2，即b＝时，|OP|取得最小值，可得x2＝y2＝2，即有|OP|的最小值为2，故②正确，对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故③不正确；故答案为：①②【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）观察以上三角形数表可得：a（4，2）﹣a（3，2）＝11﹣6＝5，a（5，2）﹣a（4，2）＝18﹣11＝7，a（6，2）﹣a（5，2）＝27﹣18＝9．（Ⅱ）依题意a（n，2）﹣a（n﹣1，2）＝2n﹣1（n≥2），由于a（2，2）＝3，所以当n≥2时，a（n，2）＝a（2，2）+（a（3，2）﹣a（2，2））+…+（a（n，2）﹣a（n﹣1，2））＝3+3+5+…+（2n﹣1）＝3+，＝n2﹣2n+3，当n＝2时，a（2，2）＝3符合上式，所以．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，考查运算能力，属于中档题．18．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.2＝40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）＝40×0.075＝3．…（4分）（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 …（6分），，，，…（10分）所以ξ的分布列为所以．所以ξ的数学期望为．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数据统计图的合理运用．19．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，且ABCD为矩形，∴BA⊥平面ADEF，又EF⊂平面ADEF，∴BA⊥EF，又AF⊥EF且AF∩BA＝A，∴EF⊥平面BAF；（Ⅱ）解：设AB＝t．以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系F﹣zyz．则F（0，0，0），A（﹣2，0，0），E（0，，0），D（﹣1，，0），B（﹣2，0，t），＝（1，﹣，0），＝（2，0，﹣t）．∵EF⊥平面ABF，∴平面ABF的法向量可取＝（0，1，0）．设＝（x，y，z）为平面BFD的法向量，则，取y＝1，可得＝（，1，）．∵cos＜＞＝，得t＝，∴AB＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．20．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（I）由已知得，∴a＝，bc＝1，又∵a2＝b2+c2，∴b＝1，c＝1，∴椭圆的方程为：+y2＝1．（II）l的斜率必须存在，即设l：y＝k（x﹣2），联立，消去y得x2+2k2（x﹣2）2＝2，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，由△＝64k4﹣8（1+2k2）（4k2﹣1）＝8（1﹣2k2）＞0可得k2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可得：x1+x2＝，x1x2＝，∵（O为坐标原点）∴（x1+x2，y1+y2）＝t（x，y），∴x1+x2＝tx，y1+y2＝ty，∴x＝•，y＝•[k（x1﹣2）+k（x2﹣2）]＝•∵点P在椭圆上，∴+2×＝2，∴16k2＝t2（1+2k2），∴t2＝＝8﹣，（*）∵|﹣|＝||＝|x1﹣x2|＝•＜，∴k2＞，∴＜k2＜．将＜k2＜代入得＜t2＜4，即﹣2＜t＜﹣或＜t＜2，则t的取值范围是（﹣2，﹣）∪（，2）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题21．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝﹣ax+b＝0，∴b＝a﹣1，∴f′（x）＝﹣ax+a﹣1＝﹣，当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”，则k AB＝＝﹣+a﹣1，f′（）＝﹣+a﹣1，又k AB＝f′（）得＝，∴ln＝t，（t＞1），则lnt＝2﹣，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，令h（t）＝lnt+﹣2（t＞1），则h′（t）＝＞0∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，∴h（t）＞h（1）＝0，与lnt＝2﹣，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题，属难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的参数方程的标准形式为（μ为参数），代入曲线C的方程得μ2+2μ﹣4＝0．设点A，B对应的参数分别为μ1，μ2，则μ1+μ2＝﹣2，μ1μ2＝﹣4，∴|AB|＝|μ1﹣μ2|＝2．（Ⅱ）∵点P的极坐标为，∴由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为（﹣1，1），∴点P在直线l上，中点M对应参数为＝﹣1，由参数μ的几何意义，点P到线段AB中点M的距离|PM|＝1．【点评】本题考查弦长的求法，考查点到线段的中点的距离的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）由题意可得|x﹣a|＜1，可化为a﹣1＜x＜a+1，∴，解得a＝1．（2）令g（x）＝f（x）+x＝|x﹣a|+x＝，所以函数g（x）的最小值为a，根据题意可得a＜3，所以a的取值范围为（﹣∞，3）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。